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专题03 倍长中线
1.任何时候,都需牢记:做题只是提高成绩的一个手段,而不是目的.
2.倍长中线,只是辅助线的一种方法, 是指题目条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。
3. 倍长中线,提供的是一种解题思路,而不能死记硬背。
4.倍长中线还可以理解为:中点+平行,中心对称,180°旋转……
三角形
如图1-1：已知AD是△ABC的中线。
求证：（AB-AC)<AD<（AB+AC)
中心对称图形
如图2-1：
已知：点F是▱ABCD边CD的中点,且AF平分∠CAF。
求证： EF⊥AE, AE=AD+CE
证明：延长AF,BC交于点G.
∵ 四边形ABCD是平行四边形.
∴ AD∥BG
∴ ∠1=∠G,
∠ADC=∠FCG
又∵CF=FD
∴ △ADF≅△GCF
∴ AD=CG，AF=GF
又∵∠1=∠2
∴∠2=∠G
∴AE=CE
∴EF⊥AG
∵EC=CE+CG
∴AE=AD+CE
一．中线取值范围
1．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，则BC边上的中线AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜5 B．2＜AD＜3 C．1＜AD＜4 D．3＜AD＜5
二．三角形类提升
2．（1）如图1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，使得AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF．求证：BE+CF＞EF．
3．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中点．
（1）说明：MB＝MC；
（2）设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB＝MC是否还能成立？并证明其结论．
4．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．
（1）求证：△ADC≌△EDB
证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD
在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（ ） CD＝BD（中点定义）
∴△ADC≌△EDB（ ）
（2）探究得出AD的取值范围是 ；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长．
5．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，再连接BE，（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明
（2）问题拓展：如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
6．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．
（1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当∠ADC＝α时，求的值．
三．中心对称图形类
8．如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且EF⊥AE．
求证：AE平分∠DAF．
李华同学读题后有一个想法，延长FE，AD交于点M，要证AE平分∠DAF，只需证△AMF是等腰三角形即可．请你参考李华的想法，完成此题的证明．
9．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为（ ）
A． B． C．2 D．
10．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD，则EF与AE的位置关系 ．若将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图a、图b、图c），其它条件不变，则EF与AE的位置关系是 请结合图c加以说明．
四．综合运用
11．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．
可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．
12．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF＝AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为l．
（1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）若AE＝BE，AB＝4，AD＝5，求l的值．
13．（1）如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线．延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 ．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为BC的中点，E、F分别在边AB、AC上，且DE⊥DF，若BE＝2，CF＝5，求EF的长．
（3）如图3，四边形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝120°，E为AD中点，F、G分别边AB、CD上，且EF⊥EG，若AF＝4，DG，求GF长．
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