中考数学之《每日一题》第11天（2023·无锡·10）

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一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云， 一个灵魂唤醒另一个灵魂。

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考题呈现

方法探究

（1）已知△BCD与△ABC相似，得△BCD为与△ABC相似且以BC为公共边的直角三角形，提问：如何绘制以BC为边的直角三角形呢？

回答：如图2，两线一圆（排除线段BC）

（2）所有可能图形：

思路分析

①当α=45°时，△BCD与△ABC均为等腰直角三角形，重心即为三角形各边中线的交点，要说明某点是三角形的重心，只需说明该点为三角形两边的中线的交点即可；

②借助可能性图形，观察最大值情形，构造Rt△ADE，利用勾股定理求出AD的值；

③首先正确绘制图形，构造含OD的直角三角形，结合中位线和矩形的性质，其次利用三角形函数求出OH和DH的长，再利用勾股定理求出OD的长；

④计算并用x的代数式表示CD，从而建立AC+CD关于x的二次函数求解最小值.

解答过程

第一小问：

第二小问：

第三小问：

第四小问：

解题心语

1.会根据题目要求画出对应图形，掌握“两线一圆”绘制直角三角形的方法，本题有六种画法，考生会根据不同的对应关系进行分类讨论，因此心中多图需细心；

2.当问题角度发生变化时，会熟练随机应变，利用相似三角形的性质或者三角形函数导边，求斜方向线段的长度，一般可考虑“化斜为直”法构造水平或者竖直方向垂线，从而得以此边为斜边的直角三角形；

3.问题①相对简单，有时无需计算，可利用观察法得出结论；事先画好规范图，以至于对于特殊情形有所把握，问题②可在两线一圆中观察并计算最大值，考生要学会构造，难度不大；问题③是一种特殊情形，考生可借助勾股定理和三角形函数导边计算，问题④求最值，考生的困惑可能会猜想是不是将军饮马问题，相似是出发点，因此首先考虑能否利用相似三角形的性质和勾股定理导出用变量x表示目标边，观察和式便知利用二次函数求最小值；

4.对于判断类型的数学问题，在条件和图形不确定的情况下，结论往往也随之改变，综合性较强，考查考生的计算能力和动手操作能力，难易结合，要求较高，耗时耗力，因此解决此类问题时要先完成力所能及的问题，然后再考虑解决偏难的题目，由于综合性较强，容易造成判断失误，因此此类问题失分率较高.