作双垂好还是旋转好？

——一道经典对角互补问题

王 桥

有这样一道经典题目：

先看例题：

分析

  

  咱们在九年级版《春季攻势》第12讲“对角互补和半角模型”一讲，曾经总结出“对角互补模型”的基本策略：（1）做双垂；（2）用旋转；

  所以，我们首先有：

策略1：对角互补做双垂

策略2：共顶点，等线段，对角互补用旋转

  其实，我们还可以把△OCE旋转到△ODN的位置，如图4。计算方法同上。

  “对角互补作双垂”和“共顶点、等线段，对角互补用旋转”可以看做是解决对角互补模型的通法。一般地来说，没有“等线段”，只能作双垂，通过构造旋转相似三角形来解决；有“等线段”，既可以通过作双垂，构造旋转全等三角形来解决，也可以通过“捆绑旋转”，构造手拉手全等三角形来解决。

  题目中，当对角线OE为定值时，四边形OCED的面积为定值：1/2OE²；

  而对于第（2）问，当“∠DOE=30°”时，此时四边形OCED的大小和形状就固定了下来。鉴于此，对于第（2）问，我们还可以运用下面的方法：

策略3：对角互补必有隐形圆

  当然，也可以过点C向OE作垂线，如图6，解题方法类似。

  对于第（2）问，如果知道托勒密定理：圆内接四边形两组对边的乘积等于对角线的乘积，还可以直接套公式。

策略4：偶尔用用“托勒密定理”

注：关于“托勒密定理”，请大家自行百度相关文章，在此不再赘述。