思维的判断

作者 | 姜淼鑫来源 | 健康数学

☞ 数学与思维锻炼

第一部分

ONE

我们都希望孩子在数学学习中，能锻炼出很强的思维。

而思维的锻炼与否，注定要有评判的标准。

也许我们一直认为，学数学是把不会的题目学会的过程。其实并非完全是这样，有时候一些不学就会的题目，学得多了反而不会了。

我举一个例子，很多一年级的学生会做下面这道题：

买3块糖花了5元钱，买6块糖要花多少钱？

他们可以发现6=3＋3，所以花的钱是5+5=10。

但是到了二年级、三年级、四年级，学了乘除法后，反而很多学生不会了。因为他们总是想求出1块糖多少钱，但是又不会算5÷3。

学了乘除法，仍会做这道题，也不意味着锻炼了思维，因为一年级时候本来就会。但如果没学乘除法时候会，学了反而不会了，那是思维的束缚，是思维被知识束缚了。

也就是说，数学同时具有锻炼思维、束缚思维这两种功能。

“学数学能锻炼思维”，这句话是对的；“学数学能束缚思维”，这句话也是对的。关键在于怎么学，学成了什么样。

如果我们不研究一下数学思维到底是什么，也许更多的可能是思维被束缚，而不是被锻炼了。

第二部分

TWO

在上一篇《数学与思维锻炼》中，我们已经知道两个结论。一个是“学会知识方法并套用，并不锻炼思维”，另一个是“做学过方法的题目，无法判断思维是否得到了锻炼”。

只有做没学过的题目，我们才能判断思维是否得到了锻炼。

第一个判断标准就是：学易会难

我们来举几个学易会难的例子。

1、加减法的例子。

学生会先学习10以内的加减法，而且这时候，他们数数方面数到100不成问题。

那么这时候就可以问他们，34＋4＝？

我们听到的答案，很可能是：这我没学过啊。

他们真的没学过吗？我们不难想到，34+4需要的一切知识都学了，34和4代表什么，数数能数到100就已经知道了，加起来也没超过这个范围。而对“＋”的理解，学10以内的加减法时已经理解了。

如果学了10以内加减法、数数能数到100，不会算34＋4＝，只能有三种可能：

① 会算10以内加减法，却不懂加减；

② 会数到100，却不懂这些数；

③ 没有打开思考。

而无论是哪一种原因，都是思维没得到锻炼的表现。甚至前两种情况，学了加减却不懂加减、数到100却不明白数数，这种学习，不仅没有锻炼思维，反而是对思维的束缚。

2、乘法的例子

学生学乘法，先学乘法意义，比如3×5表示3个5相加，或者5个3相加。然后学习乘法口诀，从1×1学到9×9。

这时问学生一个问题：3×11=？

大部分学生觉得，我只学到9×9，没学过两位数乘法。但是真的如此吗？3×11表示3个11相加，或者11个3相加，这个加法肯定会算。

所有的学生，都应该在学了乘法意义之后，会算3×11。这作为锻炼思维的最低标准，确实不能更低了。

而且思维好一些的学生，乘法分配律都已经领会了。

比如3×5+2×5，就是3个5相加，再加上2个5相加，一共5个5相加，也就是等于5×5。二年级的学生，学了乘法意义后，就完全可以懂并且用了。

但现状却截然相反，我们的现状是，三年级算了那么多乘法竖式（竖式算乘法用的就是乘法分配律），用了千百遍的乘法分配律，结果四年级学乘法分配律要重新学。

3、解方程组的例子

当学生学了二元一次方程组的解法之后，如果会解三元一次方程组，那么就说明思维得到了锻炼。

三元一次方程组的解法虽然没学过，但是把三元变成二元，与把二元变成一元，消元的思路完全的一样。

第三部分

ThREE

到这里，也许一些读者已经明白了，之所以有些学生能做到学易会难，是因为他通过思考，真正学明白了一些概念、真正领会了一些简单题的本质，这时他会发现难题的本质还是一样的。对于他们来说，这些没学过的更难的题目，与学过的简单的题目，难度一样，所以他们会做。

因此，学易会难，是形式上的难易之分，而不是思维本质上的难易之分。在思维本质上，难易程度一样。

如果数学学习中，从来没有做到过学易会难，只有两种可能：一种是简单的没有真懂，只是自以为懂；一种是简单的懂了之后没有通过思考去运用。当然，这两种原因，都是思维没有得到锻炼的表现。

如果数学学习中，通过简单问题的学习后，真实的想出来了一些老师没教过的更难的题目。那么同时说明，简单的问题真学懂了，而且懂的部分真的去运用到难题里了，这注定意味着思维得到了锻炼。

当然，对于思维锻炼来说，学易会难是最低的标准，锻炼的高度仍然有限。下一篇，我们就来看，思维锻炼的更高高度是什么样的。

感谢大家的关注与阅读。