著名的美国数学家和数学教育家波利亚指出：数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面。以最后确定形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性材料，然而，数学的创造过程是与任何其它的知识创造过程一样的。在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比。你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的。
波利亚还多次强调，哪怕数学学习过程，也需要大胆猜想。猜想可以激发我们的好奇心与求知欲，引导我们自己主动地去获取数学知识，体验数学发现的快乐。
学习了一位数乘两位数的乘法法则以后，可以猜猜一位数乘多位数的乘法法则；学习了长方形面积的求法以后，可以猜猜平行四边形面积的求法；学习了整数的整除性以后，可以猜猜整数的整除性特征；学习了同分母分数的加减法以后，可以猜猜异分母分数的加减法；学习了分数的性质与运算，可以猜猜分式的性质与运算；……。
猜想让我们把自己与所面临的问题息息相关地联系起来，使我们真正感到自己是学习的主人，促使我们积极开动脑筋、认真思索问题。这样就最大限度地调动起了我们的学习兴趣和主动性；同时，在猜想的检验与修正过程中，我们的思维能力也就得到了锻炼和发展。
如果老师没有给予学生足够的猜想机会，不客气地说，老师就犯了误人子弟的错误；而于学生，那就是难以弥补的遗憾！所以，我们要尽可能鼓励我们的孩子在数学学习中大胆猜想。
当然，所谓'猜想'并非是毫无根据、不着边际地胡猜、乱猜，有价值的、能够让我们从中受益的猜想，需要遵循一定的基本方法，——主要是归纳与类比。
前面我们曾经提到过'哥德巴赫猜想'：十八世纪四十年代，德国数学家哥德巴赫在把大量的自然数拆成其它自然数之和的过程中发现：大于或等于6的偶数拆成两个奇数之和的方式虽然很多，但其中至少有一种方式是两个奇质数的和
6＝3＋3， 8＝3＋5， 10＝5＋5， 12＝5＋7， 14＝7＋7，
16＝3＋13, 18＝5＋13， 20＝7＋13， 22＝3＋17， ……
从这些一个个的个别事例中，哥德巴赫总结出了一条共同的规律：每个不小于6的偶数都可以表示成两个奇质数的和。
从一些个别事例中概括总结出一个一般性结论，就叫'归纳法'；准确地说，应该叫'不完全归纳法'。
'不完全归纳法'不仅仅是数学发现、也是其他科学发现常用的思维方法，天文学上著名的'行星运行三大定律'，就是开普勒通过分析他的老师第谷大量的天文观测资料，用'不完全归纳法'总结出来的。
数学猜想的第二种常用方法，叫做'类比法'：
例如，分数与分式在数学定义上极其相似：
我们自然而然推测它们在其它一些方面也有相似之处，比如
根据分数的基本性质：'分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。'推测分式的基本性质：'分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变。'
根据分数的加法法则：'同分母分数相加，分母不变，分子相加；异分母分数相加，先通分，再按同分母分数加法计算。'推测分式的加法法则：'同分母分式相加，分母不变，分子相加；异分母分式相加，先通分，再按同分母式加法计算。'
……
像这样，根据两种不同事物在某些性质上的相似，推测它们在另一些性质上也相似，就叫'类比法'。
让我们来看一个数学史上比较著名的'类比'事例：
小学生都知道，可以把一个正方形剪成四块，将它改拼成一个面积相同的正三角形或直角三角形；反之，也可以把一个正三角形或直角三角形剪成四块，改拼成一个面积相同的正方形。
通过'类比'推而广之，我们猜想：是否可以把一个正多边形剪成若干块，将它改拼成另一个面积相同而边数不同的正多边形？匈牙利数学家包利阿伊最终证明了这个猜想是正确的。
由于多面体与多边形的许多性质相似，我们通常把多面体看做是多边形在空间的类比物，因而接着自然就会猜想：
能否把一个正方体剪切成若干块，将其改拼成一个体积相同的正三棱锥？再推而广之：空间任意两个体积相同的多面体是否也一定可以互相改拼呢？这就是著名的希尔伯特第三问题。
看起来，体积相等的多面体可以互相改拼的猜想似乎应该是真的。可是希尔伯特的学生德恩却举出了反例：等体积的立方体与三棱锥（四面体）就无论如何也无法改拼，推翻了关于等体积的多面体可以互相改拼的猜想。
无论是归纳还是类比所得的猜想，都有可能是正确的、也有可能是错误的，都必须经过严格的证明才能成为被数学接受的结论。
类比也是其他科学发现的伟大引路人。尤其在'仿生学'中更是如此：从春秋战国时期鲁班模仿茅草的齿形边缘发明锯子、到文艺复兴时期达芬奇模仿鸟类发明人类第一飞行器、再到现代日本铁路工程师中松英二仿照翠鸟嘴型设计高铁车头，无一不是受到'类比'的启发。
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