本题采用历史文件介绍过的方法分析题目,希望大家能从中领悟解题思路.只有掌握题目的分析方法,才是根本.
典型例题:如图,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,且∠EAF=45°,AH⊥EF,H为垂足,求证:AH=AB.
【思路分析】本题我们用历史文章介绍过的综合分析法去分析题目.
第一步:从结论入手分析.
我们先从结论入手分析本题,要证明两条线段长度相等,很常规的一种解法是将它们放到两个三角形中,证明这2个三角形全等.
结合本题图形特点,我们采取此解法,去证明△ABE≌△AHE,而这2个三角形要全等,题目已知条件只有各自一个直角,和公共边AE.还缺一组对边或者一组对角相等.
题目已知的条件中,E、F两点不是正方形边的特殊点,因此没有更多有关边的信息,因此我们需要想办法再证明2个对角相等.
第二步:根据我们分析的结论,做辅助线,构造全等三角形.
题目已知∠EAF=45°,即下图∠4=45°,可得∠1+∠3=45°,于是我们将∠3和∠1放到一起就能有45°角,可能构造出和△FAE全等的三角形.
于是做辅助线:延长CB至G,使得BG=DF.
易证△ABG≌△ADF(SAS),
可得∠2=∠3
∴∠1+∠2=45°=∠4,且AG=AF
由此易证△GAE≌△FAE(SAS),
∴∠5=∠6
第三步:回到第一步的分析结果,证明三角形全等
在△ABE和△AHE中,∠ABE=∠AHE,∠5=∠6,AE为公共边,
∴△ABE≌△AHE(AAS)
∴AH=AB.
注:本题也可理解为旋转△ADF,题目条件中三角形一边是正方形的边长,因此将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,这也是本题另外一种思路,同学们可自行领会.
【答案解析】过程略.同学们根据上述分析自行写出过程.
本文重点是题目的思路分析,并不是解题过程,因此有些解题过程均简要描述,同学们在解题过程中需详细写出步骤和过程.
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