初中数学压轴题：矩形菱形正方形中的动点最值​

矩形菱形正方形中的动点最值

【典型例题1】2020年陕西中考真题

本题摘自《初中数学典型题思路分析》的赠送电子资料.

如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为____.

【思路分析】

过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3√3=EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．

【答案解析】

如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，

得矩形AGHE，

∴GH＝AE＝2，

∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，

∴BG＝3，AG＝3√3=EH，

∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，

∵EF平分菱形面积，

∴FC＝AE＝2，

∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，

在Rt△EFH中，根据勾股定理，得

【典型例题2】2020年临沂中考真题

本题摘自《初中数学典型题思路分析》的赠送电子资料.

如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．

（1）求证：AF＝EF；

（2）求MN+NG的最小值；

（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？

【思路分析】

（1）连接CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF＝EF和CF＝AF即可得证；

（2）连接AC，根据菱形对称性得到AF+CF最小值为AC，再根据中位线的性质得到MN+NG的最小值为AC的一半，即可求解；

（3）延长EF，交DC于H，利用外角的性质证明∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，再由AF＝CF＝EF，得到∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，从而推断出∠AFD＝∠FAE+∠ABF＝∠FAE+∠CEF，从而可求出∠ABF＝∠CEF＝30°，即可证明．

【答案解析】

（1）连接CF，

∵FG垂直平分CE，

∴CF＝EF，

∵四边形ABCD为菱形，

∴A和C关于对角线BD对称，

∴CF＝AF，

∴AF＝EF；

（2）连接AC，

（3）不变，理由是：

延长EF，交DC于H，

∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠FAE+∠FEA，

∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，

∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：

∠AFD＝∠CFD=1/2∠AFC，

∵AF＝CF＝EF，

∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，

∴∠AFD＝∠FAE+∠ABF＝∠FAE+∠CEF，

∴∠ABF＝∠CEF，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABF＝∠CEF＝30°，为定值．