北师大版七年级下册数学 第一章 整式的乘除《完全平方公式》

知 识 点 总 结

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完全平方公式：

(a+b)²=a²+b²+2ab         (a-b)²=a²+b²-2ab

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

2

派生公式：

(a+b)²-2ab=a²+b²(a-b)²+2ab=a²+b²

(a-b)²+(a+b)²=2(a²+b²)     (a+b)²-(a-b)²=4ab

考点解析

完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解 (如对公式中积的一次项系数的理解)。

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

理解公式左右边特征

(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;

(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.

都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.

(三)这两个公式的结构特征是：

1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;

2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);

3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.

(四)两个公式的统一：因为

所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。

练习&解析

完全平方公式的基本变形：

(一)变符号

例：运用完全平方公式计算：

(1)(-4x+3y)²

(2)(-a-b)²

分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子解答：

(1)16x²-24xy+9y²

(2)a²+2ab+b²

(二)变项数：

例：计算：(3a+2b+c)²

分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，(3a+2b+c)²可先变形为[(3a+2b)+c]²，直接套用公式计算。

解答：9a²+12ab+6ac+4b²+4bc+c²

(三)变结构：

例：运用公式计算：

(1)(x+y)(2x+2y)

(2)(a+b)(-a-b)

(3)(a-b)(b-a)

分析:本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即

(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)²

(2) (a+b)(-a-b)=-(a+b)²

(3) (a-b)(b-a)=-(a-b)

完全平方公式的巧妙用法

一、我们先来研究一下完全平方公式的几个关键变式：

(a+b)²=a²+2ab+b².

(a-b)²=a²-2ab +b².

(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²).

(a+b)²- (a-b)²=4ab.

这四个公式中包含了：a+b，a-b，a²+b²，ab. 只要知道其中的任意两个式子，就可以求出另外两个式子.

二、完全平方公式还有个非负性：

(a+b)²≥0，

(a-b)² ≥0.

如果(x+b)²+(y-c)² =0，那么x=-b，y=c.

三、用配方法配出完全平方公式

如：a²+6a+10

=a²+2×3a+3²-3²+10

=( a²+2×3a+3²)-3²+10

= (a+3)² +1.

四、例题

例1 已知(a+b)²=7，(a-b)²=3，求a²+ab +b²的值.

【分析】结论中的a²+ab +b²，与完全平方公式还有一点区别，如果直接用公式，无法实现. 观察这个式子的特点发现，式子里蕴含了a²+b²，ab两个式子，我们分开求这两个式子，题目就变得简单了.

解：∵(a+b)²=7，(a-b)²=3，

 (a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²)，

∴7+3=2(a²+b²)，

∴a²+b²=5.

∵(a+b)²- (a-b)²=4ab，

∴7-3=4ab，

∴ab=1.

∴a²+b²+ab=6.

例2 已知：m+n=3，mn=2，求m²+n²，(m-n)²的值.

【分析】m²+n²与m+n，mn之间的关系，可以用公式(m+n)²=m²+n²+2mn建立；(m-n)²可以用公式：(m-n)²= m²+n²-2mn求得，也可以用公式：(m+n)²- (m-n)²=4mn求得.

解：∵m+n=3，mn=2，

 (m+n)²=m²+n²+2mn，

∴3²=m²+n²+2×2,

∴m²+n²=5.

∴(m-n)²= m²+n²-2mn

=5-2×2=1.

【分析】此时要通过条件，求出a+b和a-b，观察条件的特点，我们发现，可以使用公式(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab +b²分别求出a+b和a-b.

解：∵a<b<0，< span=>

∴ab>0.

∴(a+b)²= a²+b²+2ab=6ab+2ab=8ab，

(a-b)²=a² +b²-2ab=6ab-2ab=4ab.

例4 已知x²+y²-4x+8y+20=0，求x+y的值.

【分析】看到此题，第一反应往往是想通过对那一长串式子进行变形，变化出x+y. 但是，通过多次尝试，一般是不能实现的. 这个时候，我们还可以考虑分别求出x和y，然后再求x+y. 像这种一个式子里同时含有两个字母，而且每个字母都有平方的情况，我们考虑用完全平方公式对它进行变化. 常用的方法就是“配方法”，把完全平方公式配出来.

解：x²+y²-4x+8y+20

=x²-4x+2²-2²+y²+8y+4²-4²+20

= x²-4x+2²+y²+8y+4²

=(x-2)²+(y+4)²

∴条件可以变化为：

(x-2)²+(y+4)².

∴(x-2)²+(y+4)²=0.

∵(x-2)²≥ 0， (y+4)²≥0，而它们相加为0，

∴只能有(x-2)² =0， (y+4)²=0.

∴x=2，y=-4，

∴x+y=-2.

例5 求证：无论x为何实数，代数式x²-4x+5的值恒大于零.

【分析】观察这个式子，x²-4x+5里存在着完全平方公式，或者说，我们可以用“配方法”给这个式子配出完全平方公式.

证明：x²-4x+5

= x²-4x+2²-2²+5

= (x²-4x+2²)-2²+5

=(x-2)²+1.

∵(x-2)²≥0，

∴(x-2)²+1>0.

∴无论x为何实数，代数式x²-4x+5的值恒大于零.

例6 计算：503².

【分析】此题如果直接计算，计算量比较大，我们可以考虑使用完全平方公式.

解：503²=(500+3)²

=500²+2×500×3+3²

=250000+3000+9

=253009.