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本文摘自《初中数学典型题思路分析》的计划增补几何模型资料!
一线三垂直模型构造全等三角形
三线合一:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形三线合一的应用非常广泛,它包含了多层意义,可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或的倍分关系。在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时需要作高或中线,这要视具体情况而定。 【典型例题1】
如图,△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点,且EA=EC,求证:EB⊥AB.【答案解析】
在△BAE和△FAE中,AB=AF,∠BAD=∠CAD,AE=AE【典型例题2】
如图,已知在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证:BF=2CD.【答案解析】
证明:延长BA交CD的延长线于点E.
∵BF是∠CBA的角平分线
∴∠CBF=∠DBA
∵BD⊥CE
∴∠BDC=∠EDB
∵∠CBF=∠DBA,BD=BD,∠BDC=∠EDB
∴△BDC≌△BDE
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∴CD=DE
∵∠BAC=90°
∴AC⊥AB,即△BAF是直角三角形
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°
∴∠BAC=∠BDC
∵∠DBA+∠BED=∠BDC,∠ECA+∠AEC=∠BAC,∠BAC=∠BDC,∠AEC=∠BED
∴∠DBA=∠ECA
∵∠DBA=∠ECA,AB=AC,∠BAC=∠CAE=90°
∴△CAE≌△BAF
∴BF=CE
∵CD+DE=CE,CD=DE,BF=CE
∴BF=2CD.
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