(1)这是经典的(直角三角形)全等模型
由AE=AD,AF=AB,∠FAE=∠BAD=90°
推出△AEF≌△ADB(SAS) 从而∠FEA=∠BDA
∴∠DGF=∠EAF=90°,从而BD⊥EC。
(2)八字相似模型,设AE=x,DF=x-1,△CDF∽△EAF得
CD/AE=DF/AF 1/x=(x-1)/1 解得x=(1+√5)/2
(3)关键是要找出√2AG,而∠EGA=45°,从而可以AG为直角边,做一等腰直角三角形即可。这里为什么∠EGA=45°?∵∠DGF=∠EAF=90° 所以D、G、A、E四点共圆,所以∠EGA=∠EDA=45°,当然也可以有别的证明方法,但这应该是比较简单的证法。从另一个方面看,题目给出√2AG其实是一个很好的提示,就是让我们去找45°角,然后构造等腰直角三角形。这个题构造之后,应该不难。
过A作AM⊥AG交EGM,由分析易证GM=√2AG,求证EG-DG=√2AG,只需证明EM=DG即可。这是一个很明显的旋转全等模型(手拉手)。
∵AE=AD,∠EAM+∠MAD=90°,∠DAG+∠MAD=90°,从而∠EAM=∠DAG
又∠E=∠ADG(在(1)已证),从而△EAM≌△DAG(ASA)
从而EM=DG
进而EG-DG=√2AG。
这也是截长补短的好题,带系数的这种截长补短,南宁模拟考试中也常见,近些年中考没有涉及,要多加练习。
方法2:补短。过A作AN⊥AG交GB于N,则易证GN=√2AG,
从而只需证DN=EG即可,又△EAG≌△DAN 从而DN=EG
从而EG-DG=√2AG
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