【思想方法】同一法分析初中数学典型题

摘自《初中数学典型题思路分析》已完成附赠资料

初中数学解题思路方法大汇总

——《初中数学典型题思路分析》附赠之一

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此系列文章汇总的初中数学解题思路方法如下：

01、特殊与一般思想 ；

02、整体思想 ； 

03、 分类讨论思想 ；

04、 转化思想；

05、 数形结合思想;

06、 方程与函数思想 ；

07、 消元法；

08、 换元法；

09、 配方法

10、 待定系数法 ；

11、 几何变换法；

12、 反证法；

13、 同一法 ；

14、 构造法；

15、 主元法；  

16、 面积法；

17、 三角法；

18、 解析法；

19、 模型化法；

20、 巧用零点分段法；

21、 巧用乘法公式；

22、 巧裂项；

23、 巧用形如 x+1/ x 式；

24、 巧用倒数；

25、 巧用非负数；

26、 巧用分子有理化；

27、 巧设设而不求的未知数；

28、 巧用判别式；

29、 巧设函数通用点；

30、 巧用“横 M 形”基本图形；

31、 巧用倍长中线法；

32、 巧用截长补短法；

33、 巧用“角平分线+平行线”基本图形；

34、 巧用“双垂直图形”基本图形；

35、 巧用一线三等角基本图形； 

36、 巧用二倍角基本图形

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同一法

所谓同一法则就是:一个命题其已知条件中的概念范围与要求证的结论中的概念范围是同一的关系,而不是从属的关系.因而这种命题一旦成立,则其逆命题也必然成立.反之亦然.

现在举一例:

“中华人民共和国的首都是北京”,这句话显然是正确的.而现在我们把它倒过来,写成其逆命题的形式,便是“北京是中华人民共和国的首都”.大家也一定认为是正确的,是不必加以证明的.这是为什么呢?

其实道理很简单,因为世界上只有一个国家叫作中华人民共和国.同时,世界上所有城市中也只有一个北京.从表面上看,好像是两句话,但实质上是一句话,是反映一个意思.因而可以说,若一个命题的题设条件是唯一存在的,其结论也是唯一存在的,且概念范围是同一的,这种命题一旦证明是正确的话,则它的逆命题也一定正确.两者之间是具有等价性的.

我们凡是遇到这一类命题,只要证明其中一个(原命题或逆命题),便能推得其余一个也一定正确.这种命题在数学上称为符合同一法则的命题.

比如命题“等腰三角形顶角的平分线也是底边上的垂直平分线”,由于等腰三角形顶角的平分线只有一条,而底边上的垂直平分线也只有一条,所以说,这个命题是符合同一法则的.因而若这个命题被证明是正确的,则它的逆命题也必然正确,不必再加以证明.反之亦然.

由此可知,当发现一个命题符合同一法则时,要证明这个命题,也可以间接地去证明它的逆命题.这种间接的证法称为同一证法(或同一法).当然,这里要特别注意,要在符合同一法则的条件下,才能运用同一证法,否则就要犯错误,因为一般来说,命题成立,其逆命题不一定成立.

在应用同一证法时,具体的证题步骤往往是先做出符合命题中结论的图形(这就是把结论当作已知),再去证明这个图形就是所设的图形(这就是把原题的已知当作结论来证明),最后根据题设和结论所确定的图形的唯一性断定命题是正确的.但有时,在指出命题符合同一法则后,直接证明其逆命题,从而推理该命题是正确的.

【典型例题1】本题分析来自《初中数学典型题思路分析》书.

如图（a）,已知正方形ABCD,以AD为—边在形内作等腰△EAD,使∠EAD＝∠EDA＝15°,求证:△EBC是等边三角形.

【思路方法】本题证明中先另行作出满足命题结论的图形,然后证明它与命题题设中待证的图形是同—个图形,从而原结论成立·这种方法也是命题证明中常用到的另—种间接证法,通常称作“同—法”....

【答案解析】以BC为—边,在正方形内作等边△FBC,连结FA、FD，如图（b）,则BF＝BC，∠FBC＝60º.因为ABCD是正方形，所以BF＝BA,∠FBA＝30º.所以在

等腰△BAF中,∠BAF＝75°,它的余角∠FAD＝15°.

因为∠EAD＝15°,且两角都在正方形内,所以射线AE、AF重合.同理,射线DE、DF也重合,则交点F、E必是同—点,即△EBC是等边三角形.

【典型例题2】设△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,即AD=DB,AE=EC.

求证:DE∥BC,DE=½BC.

【思路分析】因为一条线段的中点是唯一的.过一点作一直线的平行线也是唯一的.因而本题是符合同一法则的,所以可采用同一法来证明.

【答案解析】先作出符合题中结论的图.即过D 作DE'∥BC,与AC 交于E'.

因为AD=DB,所以AE'=E'C(平行线分线段成比例定理),即E'为线段AC的中点.但题设E为线段AC 的中点,而一条线段只有唯一一个中点,所以E'必与E 重合.由作图知DE'∥BC,所以DE∥BC.

同样,过E作EG∥AB与BC 交于点G,则点G必为BC 的中点.又因为四边形DEGB为平行四边形,所以DE=BG=½BC.得到了证明.

【典型例题3】

【思路分析】

【答案解析】

常常听到有些少年朋友抱怨说,“数学太难学”,“我不是学数学的'材料’”,

在他们看来,数学好像魔鬼一样,对它感到害怕、恐惧,甚至不寒而栗.

相反地,有一些少年朋友却特别喜欢数学.

他们在课余时间,喜欢讨论数学问题、解数学难题,

总之,迷上了数学.

有些少年朋友认为,“这些数学迷的脑袋特别灵”,“他们的脑袋是数学脑袋”,

似乎就是因为自己的脑袋里没有“数学细胞”,数学才学不好.

其实,学好数学,需要天赋,但更需要后天的努力.

数学大师陈省身先生在谈到怎样学好数学时说,

“首先是用功,不用功什么也谈不上”.

数学大师华罗庚先生,也谈过读书“由薄到厚”和“由厚到薄”的治学方法.

首先是在记住所学的概念、定理、公式、法则的基础上,

认真消化,弄清来龙去脉、前因后果,

从而对原书内容补充了许多新的注解,并增加了许多新的视角,书“越读越厚”;

随着认识的发散、理解的深入,知识的脉络越来越清晰,

内容的精神揭示越来越本质,认识上升到一个新的层次,书又“越来越薄”.

这两位数学大师的经验之谈,正好说出了学好数学的两个根本条件:

勤奋而得法.

对于那些学习很刻苦,但数学成绩仍不好的同学,

我建议你冷静地想一想,

自己的学习方法对不对头?

其实,“方法”本身是一种很重要的知识.

我国古代有一个神话传说,说的是有位神仙,有“点石成金”的法术.

一天,他遇到一个穷苦的石匠,便把一堆石头用手一指,“点”成黄金送给石匠,

可石匠一想,一堆黄金的价值有限,如能学到点金的法术,

便能把无数石头点成黄金,用以周济天下穷人.

于是,他便向神仙求教“点金术”.

当然,这是神话,世上既没有仙,也没有点金术,

但这个传说说明一个道理:

点石成金的方法,比黄金更重要.

如果我们把难题比作顽石,那么中学数学中的思想方法、规律和技巧便可比作“点金术”.

学会点金术,能把无数顽石点成黄金,

同样地,学会了中学数学中的思想方法、规律和技巧,结合数学基本知识,便能使无数的数学问题迎刃而解.

作为数学教师,我希望有一套“数学解题诀窍”送到自己的学生手里,让那些

在漫无边际的题海中苦苦奋争的同学们,在轻松愉快中到达彼岸! 

这正是《初中数学典型题思路分析》书的目的.

解题多少固然重要,但更重要的在于“多思”,

解题质量的高低、解题方法的优劣,则完全取决于“善思”的程度.

希望关注本公众号后学习使用了本书的同学,能从中学会“多思”,并达到“善思”,从而掌握解题思想、方法和技巧,熟练地解答数学题.

待续...