【备战中考】圆中的折叠问题

圆中的折叠问题

原题呈现

（2018·绍兴市上虞区）如图，以半圆的一条弦BC（非直径）为对称轴将

折叠后与直径AB交于点D，若

，且AB=10，则CB的长为_________．

（详细解答在文末，等不及的朋友可以直接跳过分析看详细解答，解法1，解法2相对比较常规，解法3利用“12345”，具有一定技巧性）

详细思路分析

此题为圆中折叠类问题，面对此类问题，我们一般采取的策略应该是将折叠后的图形还原，再通过分析图形进行求解。

考虑到点D在本题中起着定量的作用，故将点D进行还原：

为了便于观看，把DE隐去

由题中

，AB=10易知AD=4，BD=BE=6。

我们可以从不同角度分析本题：

思路一

01

PART  01

考虑到AB=10，BE=6，易联想到6，8，10这一组勾股数，且AB为直径，由直径所对的圆周角为直角不难想到连结AE，则AE=8。

观察所求问题，若想求BC的长，且已知直径AB，易想到构造Rt△，故连结AC，只需求出AC的长，即可解决问题。

由对折（轴对称）可知，∠ABC=∠CBE，不难发现

，即C是

的中点。有弧中点，又存在弧所对的弦AE，亦可想到利用垂径定理求解，故连结OC。

易知AF=4，AO=5。所以OF=3，则CF=5－3=2，再由Rt△ACF中，利用勾股定理可求得AC=

。回到Rt△ACB，AB=10，AC=

，即可求得BC=

。

思路2

02

PART  02

由题中

，AB=10易知AD=4，BD=BE=6。

由对折（轴对称）可知，∠ABC=∠CBE。圆中弧、弦、角三个量的关系往往不可忽视，由这两个角等，不难看出弦AC=弦CE，故连结AC，CE。

而考虑到对折（轴对称）的性质，弦CD=弦CE，故连结CD，即可得到等腰△ACD。

回到本题所求中，肯定需要找到线段关系，而等腰三角形中常做的辅助线即为“三线合一”。故过点C作AD的高。

易知AF=FD=2。在Rt△ACB中，已知AF=2，BF=8（知二求三），易联想到利用射影定理求解：

，所以BC=

。（若不会射影定理，用三角函数或相似亦可）

思路3

03

PART  03

AC，AE，BE的添加思路类似于法一，此处不再赘述。不难发现∠ABE=2α，

，则

（“12345”），∵AB=10，∴BC=

。

详细解法