一道相似探究题,寻求探究的本质

掌握模型、套路在解题中当然有用，但有时候也可能固化思维，走入死胡同．跳出舒适路径，可以获得新知．

阅读例题解析之前，先自行尝试解答．

本期例题

初步分析：

“问题初探”，整体来看，属于“△内一个×”，方法是作平行线，利用平行线分线段成比例定理、A8字相似，推动比例点的转换．

需要注意两个问题，一是平行对象的选取，不要截断问题线段；二是优先选用比例关系在平行线间的推动，尽量避免“A字上比全、下比全”自找麻烦．

本问属于基础问，解法很多，以下简述三种．

初步分析：

由于△ABC为等腰Rt△，所以AE、AC的数量关系为1∶2；有BF⊥AD则与矩形内十字架结构相关，可考虑构造三垂直，参考相似模型小结（二）三垂直模型．

通过“问题初探”，我们得到EP∶CP＝2∶1，考虑跟三垂直的数量关系．

初步分析：

此问与前问不同，△ABC不再是特殊三角形，无法借助Rt△ABC的边比．

按照探究题套路，大胆猜想这里AE、AF、AC之间的关系依然是AE²=AF∙AC．

我们不禁反思，Rt△ABC的（锐角）角度真的会影响结论吗?

答案是，不会影响!!

请先自主思考证明方法···

更进一步??!!

由AE²=AF∙AC，你想到什么?

哦，共线边之积相等，母子型!△AEF∽△ACE

由∠BAC＝90°，你想到什么?

哦，圆周角定理推论，点A在⊙O上!

如图所示．

这其中又有什么有趣的东西，需要你自己探索啦···