2021年湖北省恩施州中考数学第24题抛物线综合题

2021年湖北省恩施州中考数学第24题

原题呈现

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x²+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图文解析

待定系数法

（1）求出点B的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解；（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0），将C、D两点坐标代入抛物线解析式求出b=2，c=-3

故抛物线的表达式为y＝x²+2x﹣3；

等腰三角形存在性

菱形存在性转化为等腰三角形存在性

平移型“将军饮马”

先平移

再饮马

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