抽丝剥茧  去伪存真  建立模型  各个击破

——当“飞鱼模型”遇到“中点策略”

王 桥

    解决一道中考压轴题，需要所动用调用的数学知识、数学思维、解题经验、解题策略是综合性的，多方面的。

例1、（2020泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为  ．——选自《沙场秋点兵》之“相似三角形”

分析：

一、从已知条件出发的正向发散思维：

已知条件	直推结论	进一步联想
矩形ABCD，AB=4，AD=6	（1）AD=BC=6，AB=CD=4 （2）AD∥BC，AB∥CD （3）∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°	（1）BE=5； （2）EC=ED =2√10； ......
E是AB中点	AE=BE=2
F是AD中点	AF=FD=2

二、从结论出发的逆向收敛思维

求线段MN的长。

求线段的基本策略就是“构造方程”！而初中最常见的求线段造方程的基本策略有：

1、根据勾股定理构造方程；

2、根据相似三角形的对应边成比例构造方程；

3、根据锐角三角函数的定义构造方程；

4、根据面积关系及线段之间的和差、等量关系构造方程......

——详见《春季攻势》第3讲“构造方程法”及《冲刺十招》第2讲“无中生有话构造”

根据题目中线段之间的关系，易知：MN=FM-FN=BN-BM=BF-BM-FN。因为BF=5，则关键是要求出FN（或BN）和BM（或FM）的长。

三、其实，题目中还隐含了一个“飞鱼模型”

咱把这个“飞鱼模型”剥离出来，如图4，其中AE=BE=2，AF=DF=3，BF=5，即可求出FN或BN。

关于这个“飞鱼模型”（梅涅劳斯定理），咱们运用“胡乱做平行”的策略，有n多种方法求FN或BN——详见“老王的数学公众号”《“飞鱼模型”——相似三角形的一个常见模型》

 

四、充分运用“中点策略”求BM或FM

观察到题目中有两个中点，容易联想到“中点策略”！

1、遇中点，想线段的相等及倍分关系

2、等腰三角形想“三线合一”

3、直角三角形想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”

4、构造中位线.......

5、(类)倍长中线法.....

    咱们今天重点说下倍长中线和类倍长中线法。

关于倍长中线法，如图15、图16所示：若D为△ABC中BC边的中点，AD为△ABC中BC边上的中线，常想延长AD到点E，使得DE=AD。若连接CE，则△ECD≌△ABD；若连接BE，则△EBD≌△ACD。

    关于类倍长中线法，如图17所示：若D为△ABC中BC边的中点，E为AB边上任意一点。常延长ED到F，使得DF=DE。连接CF，则△FCD≌△EBD。

咱们再“剥离”出来一个基本图形——如图18，矩形ABCD中，其中BE=AE=2，AF=DF=3，CD=4，BC=6，BF=5，求BM或FM的长。

充分运用“中点策略”之“构造中位线”或“类倍长中线法”，也有m种解法：

......

至此，再将图4和图18组合起来，理论上将会有m×n种方法。譬如，将图11和图22结合起来，则有：

把复杂的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把没有解决的问题转化为简单的问题，这种转化划归的思想方法，也是最大的通法之一。——详见《冲刺十招》第6讲“曲径通幽需'转化’”。

抽丝剥茧，去伪存真，建立模型，各个击破，也是解决较复杂的数学问题的最常见方法。

最后，再来个大家都比较喜欢的“建系法”作为结束。