7月12日,我在武汉洪山区开设了一节《角的平分线的性质(习题课)》公开课(人教版).由于诸多原因,课题是7月11日才确定下来的,在去武汉的高铁上备的课,可以说是我准备期最短的一节公开课.
教学目标:
1、复习角的平分线的性质,能用角的平分线的性质解决较复杂的数学问题;
2、经历对于数学问题探究的过程,实践分析几何问题的基本方法,尝试在较复杂的问题中挖掘隐含条件,发展逻辑思维能力和推理论证能力.
重点和难点:
重点:综合运用角的平分线的性质解决几何较复杂的数学问题.
难点:在较复杂的问题中挖掘隐含条件.
教学过程:
引例:已知,如图,在△ABC中,∠A=50°,若∠ABC和∠ACB的平分线交于点D
(1)请问图中是否有大小确定不变的角,并求出该角的度数;
(2)联结AD,请问图中是否产生新的大小确定不变的角,并求出该角的度数.
解(1)∠D大小不变
∵ BD平分∠ABC,CD平分∠ACB
∴ ∠ABD=∠DBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∵ 在△ABC中,
∠A+∠ABC+∠ACD=50+2α+2β=180°,
∴ α+β=65°
∵ 在△DBC中,
∠D+∠DBC+∠DCB=180°,
∴ ∠D=180-65=115°
(2)∠BAD、∠CAD大小不变
过点D分别作DH1⊥BC于H1,
DH2⊥AB于H2,DH3⊥AC于H3
∵ BD平分∠ABC,
DH1⊥BC于H1,DH2⊥AB于H2
∴ DH1=DH2,同理可证,DH1=DH3
∴ DH2=DH3,
∴ 点D在∠BAC的角平分线上
即AD平分∠BAC
∴ ∠BAD=∠CAD=(1/2)∠BAC=25°
师:从本题解决过程看,我们可以得到怎样的结论?
答:三角形三条内角平分线交于一点,该点到三角形的三边距离相等
师:若三角形中两条内角平分线交点确定,第三条角平分线也随之确定,如果说这两条内角平分线是显性条件,那么这第三条角平分线就是藏在这两条角平分线背后的隐性条件。
变式:已知,如图,在△ABC中,∠A=50°,∠ABC和∠ACB外角的平分线交于点D,
(1)请问图中是否有大小确定不变的角,并求出该角的度数;
(2)延长BA,联结AD,请问图中是否产生新的大小确定不变的角,并求出该角的度数.
简证:2β=2α+∠A,β=α+∠D,
∴ ∠D=(1/2)∠A=25°
简证:DH1=DH3,DH1=DH2,
∴ DH2=DH3,
∴AD平分∠CAE,∠CAD=∠EAD=65°
师:从本题解决过程看,我们可以得到怎样的结论?
答:三角形两条外角平分线和一条内角平分线交于一点,该点到三角形的三边所在直线距离相等
师:就本题而言,如果说这一条内角平分线和一条外角平分线是显性条件,那么这第三条外角平分线就是藏在这两条角平分线背后的隐性条件。
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,在AC上有点D,联结DB,使得∠DBC=∠C,过点D做直线DH⊥BC交BC于点H,∠ABD的平分线交直线DH于点F,联结AF,
求证:AF∥BD.【课前画图,板演讲解】
(1)标注条件,初步分析:
师:通过标注条件,我们初步得到哪些信息?
答:∠ABF=∠FBD=∠DBC=∠C=α,……
师:初步设想一下,欲证AF∥BD,则可证什么?
答:证∠EAF=∠EBD=2α
(∠FAD=∠ADB=2α)
→∠EAD=4α→AF平分∠EAD
(2)让学生思考5分钟
(3)引导分析,挖掘隐含
(让学生充分发表想法)
分析:注意到,BF是∠ABD的平分线,即△ABD中∠ABD的平分线,本例需证明AF平分∠EAD,而∠EAD是△ABD中∠BAD的外角,那么DF是不是△ABD中∠ADB外角的角平分线呢?
板演:
AF∥BD←AF平分∠EAD←
在△ABD中,BF平分∠ABD,DF平分∠ADG
(隐含条件)
例2:如图,在△ABC中,∠ABC=100°,∠C的角平分线交AB于点E,在AC边上取点D使得∠CBD=20°,联结DE,
求∠CED的度数.
【课前画图,板演讲解】
(1)标注条件,初步分析:
师:通过标注条件,我们初步得到哪些信息?
答:∠ABD=80°,∠DBC=20°,CE平分∠BCD……
(2)让学生思考5分钟
(3)引导分析,挖掘隐含
(让学生充分发表想法)
分析:可以发现仅通过“导角”,无法求得∠CED的大小,让我们回到条件80°、20°中,这其中是否隐藏着什么?
对!100°的补角是80°,即BE是△BDC中∠ADC的外角平分线.则DE平分∠BDA,∠CED=(1/2)∠DBC=10°
板演:
∠CED=(1/2)∠DBC=10°
←DE平分∠ADC←
在△ADC中,CE平分∠ACB,BE平分∠FBD
(隐含条件)
课堂小结:
师:想想我们这两道例题遇到的最大困难是什么?
答:部分条件没发现.
师:对!这就叫做“隐含条件”
隐含条件:是题设中隐蔽的条件,它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后,不易被发现和利用。
师:这两道例题中的隐含条件主要体现在哪些地方?
答:(1)两条显性角平分线背后的隐藏第三条角平分线;
(2)不易发现的一条“外角”角平分线
师:我们应该如何挖掘隐含条件?
第一条是几何性质层面,第二条是图形结构层面,从正面突破,可以采用补形或挖掘数量之间的关系,从反面突破,可以“由果索因”,抓住关键条件,猜想证明之必要条件.
课后反思
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