高中物理：运用数学方法解决物理问题

一、几何方法

把物理问题转化为几何问题，利用几何关系来研究物理问题．

例1、用细绳AO、BO悬挂一重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图1所示位置逐渐移动到C点的过程中，分析OA绳和OB绳中的拉力变化情况．

分析：本题是静力学中的动态平衡问题，即物体在三力作用下处于平衡状态，任意两个力的合力与第三个力是平衡力．求解本题的关键为：一是完成由物理问题向几何问题的转换，画出对应的矢量三角形；二是利用三角形的性质来讨论力的变化问题．

解析：依据题意分析可知，在B点沿圆弧BC由B移动到C的过程中，虽然绳BO对O点的拉力F_B、AO对D点的拉力F_A都发生变化，但两个拉力的合力F却保持不变（三力作用下物体处于平衡状态，任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反，即F=－G）．

依据题意作出F_A、F_B及其合力F的矢量三角形如图2所示，当B点沿圆弧BC由B向C移动时，BO与竖直方向的夹角

逐渐减小．如图2所示，随着

角的减小，作出的三角形依次为①、②、③、④

依据三角形的边角关系可知：在B点沿圆弧BC由B移动到C的过程中，BO绳对O点的拉力F_B先减小后增大，AO对O点的拉力F_A逐渐减小．

 

二、函数方法

运用数学中的函数知识，将物理问题转化为函数问题，然后将函数问题注入物理意义，从而达到解决物理问题．

例2、如图3所示，在人向右运动的过程中，物体A缓慢的上升．若人对地面的压力为F₁，人受到的摩擦力为F₂，人拉绳的力为F₃，则

A.F₁、F₂、F₃均增大

B.F₁、F₂增大，F₃不变

C.F₁、F₂、F₃均减小

D.F₁增大，F₂减小，F₃不变

分析：本题是利用物体平衡条件判断动态平衡中的变力问题，是物体平衡条件应用典型题目之一．解决本题的关键是将物理问题转换成数学中的函数关系，也就是将题目中变化的物理量作为函数的自变量，而将要讨论的物理量作为函数，看函数随自变量的变化而变化的规律．

解析：依据题意可知，物体A缓慢上升，即在任何位置都可以认为是处于平衡状态．

故绳子的张力F₃=m_Ag。显然绳的张力不变．

对人进行受力分析，并建立直角坐标系如图．

对人依据物体平衡条件可得：

x方向上：

                      ①

y方向上：

                     ②

联立①②解得：

。

显然，F₁、F₂是关于自变量

的函数．

依据函数观点可知：对函数式

，当自变量

减小时，函数F₁增大；对函数式

，当自变量

减小时，函数F₂增大。

所以，本题的正确选项应为（B）．

 

三、图象方法

将物理规律用物理图象的形式表现出来，然后利用图象中的物理意义解决实际问题．

例3、如图4所示，甲、乙两个光滑斜面的高度和斜边长度都相同，只是乙斜面由两部分组成．将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放，不计拐角处的机械能损失，则下列结论正确的是（    ）

A.两球同时落地

B.A球先落地

C.B球先落地

D.两球落地的速率相同

解析：两光滑斜面高度相同，又不计拐角处的机械能损失，两小球下滑时机械能守恒，所以两小球到达底端时速率相同．小球A匀加速下滑的加速度为a₁，B球两部分的加速度为a₂、a₃，则a₃<>₁<>₂．画出小球下滑的v－t图象如图5所示，图象与坐标轴所围的面积表示小球通过的路程，所以两部分面积相等，B点只能在A点左侧，即

，B球先滑到底部．所以选（C）、（D）。

 

四、特殊值代入法

在不影响普遍性和解答正确性的前提下，利用特殊值代入的方法来解决物理问题．

例4、一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速释放小球，如图6所示，小球从开始运动至轻绳到达竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率的变化情况是（    ）

A.一直增大

B.一直减小

C.先增大，后减小

D.先减小，后增大

解析：依据

可知：在最高点时，重力的瞬时功率为：

．在最低点时，重力的瞬时功率为：

．在从最高点到最低点的运动过程中，重力的瞬时功率不为零．

所以，小球受重力的瞬时功率的变化情况是：先增大，后减小．显然，只有选项（C）是正确的．