同一条高数定理
两个不同的命运
01
到底是谁发现了微积分
1666年10月的某一天。
牛顿在研究如何根据物体的速度求物位移的问题中，发现了微积分，并提出了微积分的基本定理，还用这种方法求出曲线与坐标轴围成的面积。
但是当时牛顿并没有公开发表他的研究，只是在一些英国科学家中流传。
到了1675年，德国的数学家莱布尼茨也发现了微积分，他竟然也和牛顿一样，没有公开自己的研究成果。
不过两年后，莱布尼茨首次发表有关微积分研究论文，这也是历史上第一篇正式发布的微积分研究论文，在这一篇论文中明确陈述了微积分基本定理。
作为数学界的两大巨头，他们一开始并没有去争夺微积分的发现权。
就在1699年，有个瑞士人跑出来，指责莱布尼兹的微积分是抄袭牛顿的，牛顿才是第一个发现微积分的人。而莱布尼兹对其进行了反驳，事情也慢慢平息下来了。
而到了1704年，牛顿完整地发表了他的流数术，详细地介绍微积分的计算原理及规则，但是后来出现了一条匿名评论，说牛顿的流数术是抄袭莱布尼兹的微积分。
一时间，科学界就炸开了锅，谁才是微积分发现第一人的问题都成了大家所关注的问题。
1711年，英国皇家学会为了让“微积分发现者”的荣耀留在英国，不断地打压、指责莱布尼兹，这位天才最后也只能含恨而终。
后来世人为了还给莱布尼兹一个公道，将那条微积分的基本定理命名为牛顿-莱布尼兹公式。
02
微积分到底讲了什么
首先，还是得先翻翻课本，温习一下牛顿-莱布尼兹公式：
把 f(x) 当作一个导函数，对这个导函数进行定积分，就等于这个的导函数的原函数在x=b 和 x=a 处函数值的差。
呃，好像说得有点复杂了，还是打个比方吧。
将牛顿-莱布尼兹公式看作母鸡孵鸡蛋，f(x) 就是鸡蛋，F(x)就是母鸡，公式的前部分对 f(x) 进行定积分相当于母鸡孵蛋，而后部分当作母鸡孵蛋的开始时刻到结束时刻的间隔。用牛顿莱布尼兹公式求定积分，就是在计算母鸡孵鸡蛋的时间。
怎么说，这样应该更好理解吧!
从定积分的几何意义来解答这道题目是最简单的，不过我们先用牛顿-莱布尼兹公式解决这个问题。
OK，我们要计算这个鸡蛋（ f(x)=x ）的孵化时间（求定积分）。要孵鸡蛋首先要找一只母鸡（ F(x) ），找到母鸡后，就可以孵鸡蛋，算时间。
不难看出 [ (1/2)·x² ]'=x，OK，母鸡找到了，那我们开始孵...，不是，不是，是让母鸡开始孵鸡蛋吧。
看起来牛顿-莱布尼兹公式还是挺简单的，不是吗？
唯一比较难的应该就是如何找到那只母鸡了（原函数F(x)）。
那如何快速地找到那只母鸡呢？
超模君给你推荐个好办法，那就是认真做题。
如果还没听懂，那就来更简单的，求函数 f(x) 与x轴和两条垂直于x轴的垂线所围成的面积。
（抱歉，那成鸡腿了）拿刚才那个栗子说吧。
上图的阴影部分S的面积就是 f(x)=x 在[1,2]的积分，即
现在我们尝试用定积分的几何意义计算这个定积分。
阴影部分S正好是一个梯形，那么就有S=(1+2)×1×(1/2)=3/2，跟用牛顿-莱布尼兹公式算出的结果一致。
03
微积分到底有什么用
简化定积分的计算
现在求定积分基本上都是用牛顿-莱布尼兹公式，但是你想想，若没有牛顿-莱布尼兹公式的话，将要如何求定积分呢？
超模君现在展示一下定义法求定积分，以下题为例，
一般定义法求定积分分为四步：分割区间，以曲代直，求面积，求极限。
①分割区间：我们先把题目的积分区间[0,1]分割成n等分，那么每一等份长度△x=1/n
②以曲代直：当积分区间分得无限小时，每一等份可以看作一个长方形，那么第i个长方形的面积△Si=f(x)i·△x=xi·(1/n)
③求面积：
④求极限：
或许会有模友说，这道题不是可以用定积分的几何意义算吗？的确是可以，但是你们想想，不是每一个被积分函数的图象和坐标轴形成一个规则的图形，更多时候它们是不规则的。
如果用牛顿-莱布尼兹公式的话，就十分简单，原函数是(1/2)·x² ,那条定积分就等于（1/2）×（1² - 0²）=1/2，不需要太多复杂的计算。
简化定积分的计算可以快速算出曲线的长度和立体的体积，在生活中也有广泛的应用，如计算坝体的填筑力量，材料的消耗量。
物理学中的应用
都说物理离不开数学，这是有道理的。很多数学定理都应用到物理中，牛顿-莱布尼兹公式也不例外。
在学习高中物理时，想必大家也学过速度对时间的定积分就是位移，一个物体的运动速度不断发生变化，求它一段时间的位移是很难的。
但你用牛顿-莱布尼兹公式求速度对时间的定积分的话，问题就非常简单了。
还有在计算变力沿直线做功和物体之间的万有引力都用到牛顿莱布尼兹公式。
牛顿-莱布尼兹公式的发现，将微分及积分实现了完美的可逆运算，成为中世纪数学发展大革命中一个璀璨的成果。而这样的革命，似乎都留在历史故事中，难以再出现。
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