2019年之前起重机械检验师考试中，所有涉及弹性模量和惯性矩的数据都是错的，也就是说，惯性矩是怎么来的，考生不知道，出题专家也不清楚，是特检行业人员普遍的知识盲点。
但惯性矩是强度刚度计算必不可少的条件，为了大家能深刻的理解惯性矩是怎么来的，力求从原理上给大家讲清楚，对惯性矩和强度计算公式进行了简单推导，有利于大家更深刻的了解起重机强度和刚度计算。
1、什么是惯性矩
惯性的英语是INERTIA，也是“懒惰”的意思，发展到牛顿的惯性定律。万事万物道理是相通的，人们追求安逸平静的生活，何尝不是惯性呢？
惯性矩的英文，叫MOMENT OF INERTIA，转动惯量的翻译也是它。好比，伯父的英文叫UNCLE，叔叔也是它。转动惯量和惯性矩，形式是一样的：微元与尺寸平方乘积的积分。惯性矩，就是那不想改变的程度，是评估物体惯性（不想改变）的量。惯性矩就是在这个平面内物体弯曲时，阻碍物体弯曲变化的能力。转动惯量越大，惯性越大，物体旋转越难改变（需要的力矩越大）；惯性矩越大，物体越难弯曲，抗弯截面模量也越大。另外，转动惯量可以表示质量的分布（一定程度上），惯性矩可以表示面积的分布。2、常见截面惯性矩截面惯性矩，是反映主梁抗弯性能的一个量，是截面惯性矩指截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分，截面惯性矩是衡量截面抗弯能力的一个几何参数。记住，是几何参数，与材料无关。
惯性矩反映截面上的点相对于轴的分布情况。截面对Y轴的惯性矩为
截面对Z轴的惯性矩为
为啥没有X轴，X轴是扭的。
惯性矩始终大于0，其大小与坐标系位置有关。惯性矩的量纲是长度的四次方。常见界面惯性矩的计算公式如下表
3、起重机主梁截面惯性矩的计算
截面的惯性矩有无数个，在不同的方向有不同的数值，起重机主梁惯性矩是主梁本身对弯曲方向中性面的惯性矩。起重机主梁主要承载吊装物的重力，向下弯曲（当然也有侧向弯曲，本文不讨论）。主梁向下弯曲中性面是恒定的，起重机主梁惯性矩也是唯一的。箱型梁是桥门式起重机常见的主梁结构形式，简化计算，箱型梁截面是“回”字形，以上下盖板厚度相等，腹板厚度相等的常见主梁截面为例，计算一下起重机主梁截面的惯性矩（忽略大小隔板和拉筋的影响）。
方法一：切除法（外部大的减去内部小的）
方法二：累加法（分成4块取累加计算）
4、主梁静强度和刚度计算
起重机主梁的静强度计算，就是弯曲应力的计算，可以直接利用公式，弯矩除以抗弯截面系数得出。即：
但为什么是这个公式，抗弯截面系数是什么？和惯性矩是什么关系，我在这里做一个简要的推导，详细的推导可参考大学教材。
弯曲应力的推导公式，需要看明白下面4张图。
两受到弯矩Me后，由图a变成图b。
弯曲后，表现为上压下拉，但上拉下压有条分界线，这条分界线既不受拉，也不受压，这条分界线就是中性轴，图c中的Z轴。整根梁上的中性轴连在一起就是中性面（或叫中性层，想想为啥叫“中性”）。正是由于存在中性面，越靠近中心轴的截面上应力越小，中性轴上的应力为0，另外承受压力和拉力是距离中心轴最远的位置，见图d。
对于承受弯曲应力的梁，如起重机的主梁，需要做成中空的，另外上下盖板要有足够的厚度，而腹板厚度较薄。目的就是在不改变（只是稍微减小）主梁整体承载能力的前提下，尽量减小主梁的自重。正是应了我国的一句俗话：有钢使到刀刃上。
距离中性轴为y的线段bb，弯曲变形后为b'b'，伸长了，根据应变的定义和图形中的几何关系（变形前后oo始终没变），见图b。
应力应变的物理关系：
这里是应力和应变的原始关系，类似于初中学的“胡克定律”，通过这个公式，可以进一步认识，什么是弹性模量。
所有钢材的弹性模量基本是恒定，把它当做一个常数来看待，钢材的弹性模量E=2.06×10^11Pa=206GPa=2.06×10^5MPa，这个值是常识，但历年来，起重机械检验师考试试卷中，出题专家都把这个值弄错了，扩大了10倍。
由上面两个公式，进一步可得出：
受压主梁，向下弯曲，截面上微元在中性轴上部承受压力，下部承受拉力，所有力相对于中性轴的力矩的矢量和，就是弯矩。因此，根据图c，可得：
回头再看一下惯性矩的定义，是不是有种感觉，惯性矩就是为方便求解，或者说为了简化弯矩计算公式而来的。
把惯性矩的计算公式进行替换，可得
再次代回到原来的应力计算公式：
这就是，梁受弯曲时，梁截面上的弯曲应力（静强度）求解公式。在梁截面和承受载荷确定的前提下，从公式中可以看出，距离中性轴越远，y值越大，应力也越大，公式于图d是对应的。我们校核评起重机的主梁，有一个指标是强度评价指标。进行强度评价，就是应力评价，就是求截面上的最大应力，不是最大应力，我们也不关心，因为如果发生破坏或塑性变形，首先是从应力最大部位开始的。
因此，主梁应力求解公式，还可以变换。
标准型材截面的抗弯截面系数，都可以在《机械设计手册》上查到。复杂的截面，可以计算。
起重机主梁需要用两个指标去控制，一个是强度指标，一个是刚度指标。起重机主梁的挠度计算公式，不再推导，直接列出(L为跨度)：
均布荷载下的最大挠度在梁的跨中，其计算公式：
Ymax = 5qL^4/(384EI)
跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中，其计算公式
Ymax = pL^3/(48EI)
悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大挠度分别为的，其计算公式：
Ymax =1pl^3/(3EI)
起重机械检验师考试，不会超过这3个公式，甚至不会超过后两个公式。
5、一道起重机械检验师考题的解析
下图所示简易电动单梁起重机，额定起重量Q=3t，跨度S=12m，有效悬臂长3m，其他尺寸见图，电动葫芦自重200kg，主梁截面为等直工字梁，截面如图中A-A所示。
问：（1）画出满载葫芦在跨内距左大车轮中心S/4处时，主梁的弯矩图和剪力图（其他问题的解答在随后几天给出解析）。
解析：该题详细解析看昨天公众号文章。
（2）满载葫芦位于右侧悬臂端部进行下降制动时，指出此时主梁危险截面及其危险截面的危险点。
解析：危险点在BB处。弯矩就是力矩，力矩是力和距离的乘积，距离大力矩就大，因此寻找在悬臂上与力距离最远的点。
（3）如果主梁截面惯性矩I=1.1×10^8 mm^4，材料的[σ]=160MPa，计算满载葫芦位于主梁右侧悬臂端部进行下降制动时，不考虑主梁自重影响时主梁的静强度（设：起升冲击系数φ1=1.1，动载系数φ2=1.2)
解析：悬臂梁端，主梁静强度就是就是求解最大的弯曲应力。前面分析过：进行强度评价，就是应力评价，就是求截面上的最大应力，不是最大应力，我们不关心。
先进行参数换算：
200kg×10m/s^2=2000N，3t×10m/s^2=30kN=30000N
冲击系数影响设备自重，动载系数影响设备吊重；起升冲击系数与起重机自重载荷相乘，起升载荷动载系数与起升载荷相乘
悬臂的有效距离，是载荷作用线到BB面的距离，即：
L=3000-700/2=2650 mm=2.65 m
Mmax=FL=(1.1×2000+1.2×30000)×2.65
=101230 Nm
=1.0123×10^8 Nmm
截面为工字钢，上面薄，下面厚，属于特制的工字钢。这样的目的是下面为电动葫芦的行走面，所以要厚一点。正是由于上下面厚度不一样，截面的中性轴不在距离上下等分位置，要偏向厚面即下面一点。我们上面分析过，梁截面的中性轴通过截面的形心位置，下面厚，形心下移。
那么距离中性轴最远的位置就是上表面，最大应力也出现在上表面。最大距离（解题过程中，注意单位的统一）：
ymax=208 mm
σmax=Mmax ymax/Ix
=1.0123×10^8×208/1.1×10^8 mm^4
=191.4 MPa
191.4 MPa＞160 MPa
主梁最大应力超过了许用应力，所以主梁强度不足。
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