如果我们使用非十进制，无理数还会是那个值吗？

首先，基本的答案是：无理数在任何进位制下都是无理数。一个数是有理还是无理，是这个数本身的性质，不依赖于进位制。

其次，题目中的“那个值”有点模糊。如果说数的表示形式，当然会有变化。例如十进制中的2，在二进制中就是10（第一位的1乘以2，加上第二位的0乘以1，得到十进制中的2）。十进制中的0.5，在二进制中就是0.1（小数点后第一位的1除以2，得到十进制中的0.5）。十进制中的0.25，在二进制中就是0.01（小数点后第一位的0除以2，加上第二位的0除以2的平方，得到十进制中的0.25）。

思考一下，二进制中的无限循环小数0.1010101010...，在十进制中是什么呢？

这个表达式实际的意思，是1除以2，加上1除以2的三次方，加上1除以2的五次方，加上1除以2的七次方，如此等等无限下去，也就是1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + 1/2^7 + ...。这是一个等比数列的和，首项等于1/2，后项跟前项的比例q = 1/4。

学过高中数学的人知道，这个等比数列的前n项之和等于(1/2) * (1 - q^n) / (1 - q)。当n趋于无穷时，q^n = 1/4^n，而4的n次方趋于无穷，所以q^n趋于0。因此1 - q^n趋于1，整个等比数列之和就是(1/2) / (1 - 1/4) = (1/2) / (3/4) = (1/2) * (4/3) = 2/3，也就是十进制小数0.666666...。这个数在二进制和十进制中都是无限循环小数，所以一眼就可以看出它是个有理数。

根据同样的道理，你还可以证明十进制中的0.1，在二进制中是一个无限循环小数0.00011001100110011...。所以，在一个进位制中的有限小数，在另一个进位制中可能变成无限循环小数。

但无论如何，一个进位制中的有理数（有限小数或无限循环小数），在另一个进位制中不可能变成无理数（无限不循环小数）。反之亦然，一个进位制中的无理数，在另一个进位制中不可能变成有理数。题目中问的π、e、黄金分割等无理数，都是这样的，在任何进位制下都是无限不循环小数。

黄金分割

原因很简单。有理数的定义，是可以表示成两个整数相除，而整数在任何进位制中都是整数，所以这个定义是跟进位制无关的！