首先,基本的答案是:无理数在任何进位制下都是无理数。一个数是有理还是无理,是这个数本身的性质,不依赖于进位制。
其次,题目中的“那个值”有点模糊。如果说数的表示形式,当然会有变化。例如十进制中的2,在二进制中就是10(第一位的1乘以2,加上第二位的0乘以1,得到十进制中的2)。十进制中的0.5,在二进制中就是0.1(小数点后第一位的1除以2,得到十进制中的0.5)。十进制中的0.25,在二进制中就是0.01(小数点后第一位的0除以2,加上第二位的0除以2的平方,得到十进制中的0.25)。
思考一下,二进制中的无限循环小数0.1010101010...,在十进制中是什么呢?
这个表达式实际的意思,是1除以2,加上1除以2的三次方,加上1除以2的五次方,加上1除以2的七次方,如此等等无限下去,也就是1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + 1/2^7 + ...。这是一个等比数列的和,首项等于1/2,后项跟前项的比例q = 1/4。
学过高中数学的人知道,这个等比数列的前n项之和等于(1/2) * (1 - q^n) / (1 - q)。当n趋于无穷时,q^n = 1/4^n,而4的n次方趋于无穷,所以q^n趋于0。因此1 - q^n趋于1,整个等比数列之和就是(1/2) / (1 - 1/4) = (1/2) / (3/4) = (1/2) * (4/3) = 2/3,也就是十进制小数0.666666...。这个数在二进制和十进制中都是无限循环小数,所以一眼就可以看出它是个有理数。
根据同样的道理,你还可以证明十进制中的0.1,在二进制中是一个无限循环小数0.00011001100110011...。所以,在一个进位制中的有限小数,在另一个进位制中可能变成无限循环小数。
但无论如何,一个进位制中的有理数(有限小数或无限循环小数),在另一个进位制中不可能变成无理数(无限不循环小数)。反之亦然,一个进位制中的无理数,在另一个进位制中不可能变成有理数。题目中问的π、e、黄金分割等无理数,都是这样的,在任何进位制下都是无限不循环小数。
黄金分割
原因很简单。有理数的定义,是可以表示成两个整数相除,而整数在任何进位制中都是整数,所以这个定义是跟进位制无关的!
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