有关整除问题的解题技巧,学校的课堂上一般不会讲这么详细。大家好我是小梁老师,这节课的内容量很大,而且非常有用,需要记忆需要认真读题思考。学完本课用时会比较多。
<整除>
整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数,我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)。
如果整数a能被整数b(b≠0)整除,a就叫作b的倍数,b就叫作a的因数。倍数和因数是一对相互依存的概念。
根据整除的含义,我们可以归纳一些数的整除特征:
(1)看末一位或末几位数。
①能被2,5整除的数的特征:
这个数的末一位数能分别被2,5整除。
②能被4,25整除的数的特征:
这个数的末两位数能分别被4,25整除。
③能被8,125整除的数的特征:
这个数的末三位数能分别被8,125整除
④能被16,625整除的数的特征:
这个数的末四位数能分别被16,625整除。
(2)看各位上的数字的和。
①能被3,9整除的数的特征:
这个数的各位上的数字的和能分别被3,9整除。
②能被11整除的数的特征:
这个数的奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的差能被11整除。
(3)看两部分数字组成的数的差。
能被7,11,13整除的数的特征:
这个数的末三位数与末三位数前面的数字组成的数的差能分别被7,11,13整除。
2、整除还具有这样一些性质:
(1)如果两个数都能被同一个数整除,那么这两个数的和或差也能被这个数整除。
(2)如果一个数能被另一个数整除,那么这个数的整数倍也能被另一个数整除。
(3)如果第一个数能被第二个数整除,第二个数又能被第三个数整除,那么第一个数也能被第三个数整除。
(4)如果一个数能同时被另外两个数整除,而且这两个数互质,那么这个数也能被另外两个数的积整除。
以上说到的解题技巧可以用在所有整除的题目中,有必要记下来背下来。下面我们通过几个例题把整除的内容具体学习一下。
☞例题①
在□中填入合适的数字,使所组成的数能被4整除。
(1)65□4
(2)1235口
解题分析:在(1)中,要使所组成的数能被4整除,根据能被4整除的数的特征,这个数的末两位□4就应该能被4整除,因此口中可以填0,2,4,6或8。所组成的数应该是6504,6524,6544,6564、6584。
在(2)中,要使所组成的数能被4整除,根据能被4整除的数的特征,这个数的末两位5□就应该能被4整除,因此□中可以填2或6。所组成的数应该是12352,12356。
再看个比较类似的题目:
拓展题型:在□中填入合适的数字,使所组成的数能被25整除。
(1)2785□
(2)96□5
解题分析:在(1)中,要使所组成的数能被25整除,根据能被25整除的数的特征,这个数的末两位5□就应该能被25整除,因此□中只能填0。所组成的数应该是27850。
在(2)中,要使所组成的数能被25整除,根据能被25整除的数的特征,这个数的末两位□5就应该能被25整除,因此□中可以填2或7。
所组成的数应该是9625,9675。
想一想做一做以下对应题目:
1.下列哪些数能被4整除?哪些数能被25整除?
12456
2350
37212
7800
5408
65325
2.在□中填入合适的数字,使所组成的数能被4整除。
78□4
7653□
863□□
3.在□中填入合适的数字,使所组成的数能被25整除。
98□5
765□
667□
874□0
☞例题②
一个五位数能被72整除,这个五位数的千位、百位、十位上依次是6,7,9,万位和个位上的数字不知道是几,你知道吗?
解题分析:一个五位数能被72整除,那么这个五位数应该能同时被8和9整除。我们可以应用能被8和9整除的数的特征解决这个问题。
五位数□679□能被8整除,那么它的末三位一定能被8整除,即79□是8倍数,容易算出□内只能是2。
五位数□6792能被9整除,所以它各位上数字之和能被9整除,即□+6+7+9+2=□+24,显然□中只能填3。
答:这个五位数是36792。
想一想做一做以下对应题目:
1.在□中填上合适的数字,使所组成的数有因数125。
662□0
887□0
4525□□
6673□□
2.在□内填上合适的数字,使2□10□能同时被8和9整除。
3.六位数A427B6能被72整除,则A和B各表示多少?这个整数是多少?
☞例题③
在□内填上合适的数字,使五位数7□36□能被5整除,也能被9整除。
解题分析:要使这个五位数能被5整除,个位上只能是0或5;要使它能被9整除,各位数字之和就要能被9整除。
当个位上是0时,7+□+3+6+0的和能被9整除,□只能填2。
当个位上是5时,7+□+3+6+5的和能被9整除,□只能填6。
所以这个五位数是:72360或76365。
想一想做一做以下对应题目:
1.在□内填上合适的数字,使五位数29□7□能被4整除,也能被3整除。
2.已知六位数A2003B能被5整除,也能被9整除,求满足条件的六位数。
3.七位数22A333A能被4整除,且两位数3A能被6整除,那么A是多少?
本节课所有练习题答案如下:
例题1想一想做一做
1.能被4整除的数:12456,37212,7800,5408
能被25整除的数:2350,7800,65325
2.(每题答案均不唯一,给出一个仅供参考)
7904,76532,86300
3.(前、后两个答案不唯一,给出一个仅供参考)
9825,7650,6675,87400
例题2想一想做一做
1.66250,88750,452500,667375,
2.22104
3.当B=3时,A为5;当B=7时,A为1。整数是542736和142776
例题3想一想做一做
1.要使这个数能被4整除,末两位7□必须能被4整除,有72,76两种填法。要使这个数能被3整除,各位上数字的和就要能被3整除,若个位上填2,百位上可填1,4,7;若个位上填6,百位上可填0,3,6,9。所以符合条件的五位数有:29172,29472,29772,29076,29376,29676,29976。
2.由于六位数能被5和9整除,由六位数A2003B能被5整除可知B=0或5,当B=0时,A=4。当B=5时,A=8。所以这样的六位数有420030,820035。
3.因为两位数3A能被6整除,所以A=0或6经检验:2203330不能被4整除,2263336能被4整除,所以A是6。
这节课内容比较多,能够看完并且掌握的同学恭喜你,今后这类问题都会迎刃而解,下节课继续复习整除。我是小梁老师,下节课见!
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