菲尔兹奖得主Martin Hairer于2017年9月在海德堡桂冠论坛上讨论了双信封悖论。
让我们来玩一个游戏:桌子上有两个信封,其中一个信封内包含一定金额的钱,另一个信封内的金额为它的两倍。但你不知道这两个信封内各自包含的金额。你可以拿走其中一个,让这个信封中的现金归你。但在你打开信封之前,你还有一次改变选择的机会。那么,你应该坚持你最初选择呢?还是选择另一个信封?
如果你无法做出决定,那不妨借助数学来找出答案。我们可以计算一下换与不换信封,你所能得到金额的期望值。在概率论中,期望值是一个理想化的平均值,它反映的是某件事物可能结果的概率。先假设你选中的信封中金额数为x,那么这意味着另一个信封中装的金额要么是2x,要么是x/2,这两种金额的概率都是1/2。所以如果换掉信封的话,你所得金额的期望值为
很显然,这个结果大于x,所以应该换。
但这样一来,一个矛盾点就出现了。如果在你换了一次信封之后还能再换一次呢?那么按照上述结论,你应该继续换回来。如果还有第三次、第四次、第五次……无数次这样切换信封的机会,难道你应该永不停止地交换吗?如果这样的话,最终你将被困在一个无限循环的交换过程中,并且一分钱也得不到。这便是概率论中的一个著名悖论:双信封悖论。
那么,刚才的推论是不是有什么问题?
【一个解决方法】
我们将最先选择的信封标记为A,含有金额x;剩下的信封标记为B。值得注意的地方是——在你还没有将信封A打开前,x并不是一个固定的量,而是一个随机变量。它可以是一大一小两个金额中的任意一个。如果将较小的金额写作y,那么较大的金额数值则为2y。因为A是你随机选择的信封,因此A里含有较大或较小金额的概率都为50%。这意味着信封A中的期望金额E(A)是
之前我们说过,信封B中的期望金额是
但记住,x不是一个定值,它可以取两个值中的任意一个。如果信封B中含有的金额数值为2x,那么信封A则装有较少的金额,在这种情况下x = y。如果信封B中的金额为x/2,那么信封A则装有较大的金额,在这种情况下x = 2y。
所以在上面的等式中,第一个x真正代表的是y,而第二个x则代表2y。也就是说,等式中的两个x实际上是不同的,所以根本就不该被加起来,从而得到5x/4这一期望值。
我们需要用y来代替等式中第一次出现的x,用2y来代替第二个x,得到
这样一来E(A)= E(B),也就是说交换信封不会带来收益,坚持最初的选择或切换都不会产生任何影响,也就不存在什么悖论。
【如果你打开了A?】
如果换一种场景,你在选择A之后就将其打开,并且看到了里面所含的金额。在这种情况下,x就变成了定值。那么在信封B中的金额只有两种可能:要么是2x,要么x/2;这两者的概率均为50%。因此我们可以算出信封B中的期望金额为
在得知信封A中所含金额的情况下,这一等式才是正确的。它告诉我们的是,就平均值来说,切换信封是更优的选择,悖论也不会出现。如果在换成信封B之后,你能还得到一次换回来的机会你也不会再换,因为你已知了信封A里的金额少于B的期望金额,因此不会再换。
这个悖论之所以存在于文章开头所描述的版本中,就是因为我们都一视同仁的看待这两个信封——即它是一种对称情况。但是一旦你打开信封 A,对称性就遭到了破坏。
值得注意的是,当你打开信封A,并得知金额x,这就很可能改变你对信封B中是装有的是2x还是x/2的概率的看法。例如,如果x是一个非常大的金额,那么你可能会更倾向于猜测信封B中不太可能包含双倍的金额2x。我们将p记为信封A中含有较大数额的概率,那么信封B中的期望金额E(B)则变为
这样我们就会发现,当且仅当p < 2/3="" 时,e(b)大于="">
对于一部分人而言,上述的方法足以解决双信封悖论,但并非所有人对此都能表示同意。在关于这一问题的思考上,人们已经花费了大量的时间和笔墨了。
译:佐佑
原文链接:https://plus.maths.org/content/two-envelopes-problem-resolution
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