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为求通项插上联想的翅膀

文章摘要:数列的学习是以等差数列和等比数列的学习为基础,研究数列往往是从研究数列的通项公式开始,数列的通项公式是解决数列问题的关键。广泛联想,变化代换的结果,可以积累更多有益的信息,提高思维能力,发展的逆向思维。

关键词:等差数列和等比数列、通项公式、变化代换。

为求数列通项的插上联想的翅膀

  数列的学习是以等差数列和等比数列的学习为基础,研究数列往往是从研究数列的通项公式开始,数列的通项公式是解决数列问题的关键。

在学习等差数列和等比数列以后,如何借助等差数列和等比数列的定义,求某些数列的通项。

这里首先看这样一道例题。

例1.    观察数列:1,2,3,… 写出该数列的一个通项。

其实写出这个数列的一个通项很容易,

.但是从题意可以看出,这个数列可以写出若干个通项。如何把若干通项特征展示出来,关键在于前三项分别等于1,2,3的同时,而三项之后是有区别可变化实质,如

     

,其中
的任意函数。

的任意特征,使我们真实感到满足条件的通项的不惟一性,且是无限的。求数列的通项,不仅仅是在观察求通项时可以联想,在已知递推式求通项时也可以进行更深入的联想,这里从下面一道例题说起。

例2.已知数列

满足,
=1,
=0,求数列{
}的通项公式。

  分析:求解数列的通项公式,就要思考如何与已经学过的等差数列或等比数列建立对应关系,从

=0出发,进行如下变形。

  

,等式两边同除以
得:
 -2

可知,数列

为等差数列。

    解:由

=0变形, 
,等式两边同除以
得:

                         

 -2

       可知,数列

为等差数列,且以
为首项,-2为公差。

        

=1+(-2)(
=-2
,故
.

从整个思考过程看,解题的思考关键是变形的过程,这一过程书写起来很简单,但形成这一思考结果又是何等艰难,之所以难,是因为头脑中积累的信息不够,为增加头脑中的信息含量,我们可否作这样的探索,为求通项插上进行联想的翅膀。

    如果

为等差数列,有
,则

    如果

为等差数列,有
,则

    如果

为等差数列,有
,则

  类似的,我们任意变化代表第n项的形式,就可以得到不同的结果,这结果无疑为今后的解题思考过程提供可应用的信息。我们还可以对等比数列的定义作如下探索。

如果

为等比数列,有
,则

如果

为等比数列,有
,则

如果

为等比数列,有
=
,则

…………

可以类似的不断改变等差或等比数列定义中的

,将
代换定义中的
,并将等式进行适当的变形,就会变成一道求数列通项的数学信息。在求某些数列通项的时候,如果能够建立起储存信息与求解通项问题的链接,问题的求解就不再成为困难。

例3.    在数列

中,
,求数列
的通项公式.

分析:将已知

与信息
比较,取倒数得
,再与信息
,可凑出
,找到求解的方法。

解:由

取倒数得,
.

得,
两边同时减
得:

 是以
为首项,-2为公比的等比数列,
.

整理得,

可以看出,这样广泛联想,变化代换的结果,可以积累更多有益的信息,提高思维能力,例3就是很好的例证。

从心理学的角度看,一切联想离不开头脑中已有的印象或烙印,联想是以丰富的背景作依托,代换变形恰恰是强化背景储存信息的过程。从思维的方法上看,这是一种在原有的基础上,发散的逆向思维,而这一逆向的思维变为求通项插上了联想的翅膀。

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