数学教学（2）——轴对称在解复杂最短路径问题中的应用

最短路径问题是初中教学的一个难点，无论是简单问题还是复杂问题，采用的方法是作轴对称变换，转化为：

①两点之间，线段最短；②垂线段最短.

下面我们就一个很著名的定理加以说明.

定理内容：在一个锐角三角形内部作一个内接三角形（三个顶点分别都在原三角形的边上），以三个垂足为顶点的三角形周长最小.

且最短三角形的内心（三条角平分线交点）是原三角形的垂心（三条高的交点）.

如图1所示. △DEF内接于锐角△ABC，当CD⊥AB，BF⊥AC，DE⊥BC时，△DEF的周长最小.

图1

我们先将D固定在边AB上任意一点，找到在这点不动的前提下，E和F的位置，求出最短周长与某条线段的关系

分别作D关于直线AC和BC的对称点D'和D''，连接D'D'',分别交AC，BC于点F和E

很明显，此时的△DEF的周长最小，最小值是D'D''的长度，如图2所示.

图2

根据三角形两边之和小于第三边，得：D'D''<AD'+AD''

根据轴对称性质，得：AD=AD'=AD''

所以D'D''<2AD

因此，△DEF周长的最小值，是在AD最小时取得，根据垂线段最短原则，

当AD⊥AB时，AD最小，此时△DEF周长最小. 如图3所示.

图3

下面我们证明，BF⊥AC，AE⊥BC

如图3，由轴对称可知：

标∠1的两个角相等，标∠2的两个角相等，标∠3的两个角相等，标∠7的两个角相等

因为CD'=CD''，所以∠1=∠2,

因为AD⊥AB，所以∠3=∠4，（等角的余角相等）

根据对顶角相等，所以∠7=∠8

所以可以得到：∠FDB+∠FD''B=180°

根据对角互补的四边形四点共圆，又因为BD=BD''

所以∠5=∠6（等弦，则等弧，则相应的优弧或劣弧所对圆周角相等）

又∠7=∠8

所以∠5+∠7=90°，即BF⊥AC

同理AE⊥BC

根据前面所证：∠1=∠2，∠5=∠6，可知AD、BF是△DEF的内角平分线

即最短三角形的内心（三条角平分线交点）是原三角形的垂心（三条高的交点）

故而得证.