1、如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD＝________m.
【解析】：设BD＝x m，作AH⊥CD，垂足为H，记∠HAC＝α，∠HAD＝β，则
α＋β＝45°.因为tanα＝，tanβ＝，且tan(α＋β)＝1，得＝1，即x2－15x－54＝0，即(x＋3)(x－18)＝0，解得x＝18.
2.如图1，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.
【解析】 根据图示，AC＝100 m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得＝⇒AM＝100 m.在△AMN中，＝sin 60°，∴MN＝100×＝150(m)．
3.如图2，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米
4、如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB为直径)，现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2.设∠AOC＝x rad.
(1) 写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；
(2) 试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值？
【解析】： 因为扇形AOC的半径为40 m，∠AOC＝x rad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x,0＜x＜π.在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，所以△COD的面积S△COD＝OC·OD·sin∠COD＝1 600sin(π－x)＝1 600sinx，从而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x,0＜x＜π.
5、如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段，其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC长为1米．若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD的成本是4a元/米．设∠ADB＝α，制作整个支架的总成本记为S元．
(1) 求S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
(2) 问AD段多长时，S最小？
【解析】： (1) 在△ABD中，由正弦定理得＝＝，(1分)所以BD＝，AD＝＋，(3分)
则S＝a＋2a＋4a＝a，α∈.(7分)
(2)
6、 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝.计划在上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ.
(1) 当θ＝时，求∠OPQ的大小；学-科网
(2) 当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．
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