2013年上海高考题(理科)第14题讲评
大罕
【题目】14.对区间I上有定义的函数g(x),记g(I)={y|y=g(x),x∈I}.已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),且f-1([0,1))=[1,2),f-1((2,4])=[0,1),若方程f(x)-x=0有解x0,则x0= .
【解答】由已知g(I)={y|y=g(x),x∈I},且f-1([0,1))=[1,2),f-1((2,4])=[0,1),根据反函数定义知:
对于函数f(x),
当x∈[0,1)时,f(x)∈(2,4],此时方程f(x)-x=0 即f(x)=x无解;
当x∈[1,2)时,f(x)∈[0,1),此时方程f(x)-x=0即f(x)=x也无解;
也就是说当x∈[0,2)时方程f(x)-x=0即f(x)=x是无解的,
但已知方程f(x)-x=0有解x0,且定义域为[0,3],
所以当x∈[2,3]时,f(x)的值域应包含于集合(-∞,0)∪[1,2]∪(4,+∞),
故若f(x0)=x0,只有x0=2.
【点评】又是一道“创新题”!不过,这个创新是打了引号了的.定义g(x),是为了引进一个仅在本题使用的符号——f(I),其中的I是一个区间.不过,这一设计确实给一些学生制造了障碍!
数学试题常用这样一种办法考察学生:本来可以直接给出的条件或结论,试题设计者故意绕道而行,绕过含有其它知识点或能力点的圈子,才能达到目标.这叫“绕道法”.
我们知道,有反函数的函数,其对应关系是一一对应的;原函数与反函数的定义域和值域是互为交换的.因此与f-1([0,1))=[1,2),f-1((2,4])=[0,1)相应的就有:f([1,2))=[0,1),f[(0,1))=(2,4].本题就是绕了这么一个圈子!于是,本题的条件完全可以这样直白地叙述:对于定义在[0,3]的分段函数y=f(x),当x∈[0,1)时,y∈(2,4];当x∈[1,2)时,y∈[0,1).
剩下的问题就比较清楚了.既然函数y=f(x)的定义域是[0,3],现在已给出了x∈[0,1)和x∈[1,2)时函数值所在的范围,那么x∈[0,3]时函数值应该在什么范围?CR((2,4]∪[0,1))=(-∞,0)∪[1,2]∪(4,+∞),而这个范围内符合条件的只有唯一的x0=2.
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