评析压轴题:上海市2012年高考数学理科第14题
大罕
搞一点小刁钻、偶尔不按常规出牌,这是今年(2012年)高考数学理科试卷新呈现的一个特点。以填空压轴题第14题为例,评析如下.
题目:如图1,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 .
解析:注意到棱AD与棱BC互相垂直且均为常数(BC=2,AD=2c),因此我们采用如下破题的缺口:过BC作AD的垂面于AD于E(如图2)(注:当然也可以过AD作BC的垂面,但这样做相对难一点),
则VABCD=(1/3)S△EBC×AD=(2c/3)S△EBC,
于是求出△EBC的面积的最大值成为问题的关键.
为计算△EBC,我们考查EB和EC的边长.设AB=x,AC=y,AE=z,则
BD=2a-x,CD=2a-y,DE=2c-z,
由EB2=(2a-x)2-(2c-z)2=x2-z2
和EC2=(2a-y)2-(2c-z)2=y2-z2,
可知x=y,即△EBC为等腰三角形,腰长为x,底边长为2.这时,当腰长x取得最大值时,△EBC的面积取得最大值.
如图3(它是一个平面图形),因为AB+BD=2a(常数),所以它的轨迹是一个以A,D为焦点、长轴长为2a的椭圆,欲椭圆上的动点B到长轴的距离取得最大值,显然B点应在短轴顶点处,此时E点即为椭圆的中心O点,AB=BD=a.
图4就是四面体ABCD取得最大值的图示.
S△OBC=(1/2)BC×hBC=√(a2-c2-1),
∴四面体ABCD的体积的最大值(2c/3)√(a2-c2-1).
评论:
本题作为填空题的最后一题,起着压轴的作用.事实上,确实如此,难倒了众多的学生.难在何处?一般情况下,空间几何体的体积的最值问题往往是底面积固定,让其高变化,从而取得.而本题需要根据已知条件“AD与BC是互相垂直的棱”,过其中一条棱作另一条棱所在直线的垂面,得到的直截面作为计算体积的底面.显然,这并非常规出牌,大大出乎人们意料.
其次,考虑直截面面积的最大值如何取得亦非易事.首先要证明直截面是等腰三角形,故需要一定的计算.之后,既然是等腰三角形,由条件AB+BD=2a,AC+CD=2a,联想到椭圆定义(实际上他们处于同一个椭球之中,图5),以下的路就平坦了.
本题对空间想像能力有很高的要求.空间有两条异面线段,若涉及到求体积,则应该考虑到过其一作其二的垂面,此种思考不应视为常规,应以刁钻谓之,却不古怪。
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