平面几何的证题方法多种多样.利用旋转来解决平面几何问题,有时能收到事半功倍的效果.
分析:一般的证法是证明△ABG与△AEC全等,然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转,则可以如下证明:由已知可知,点E绕点A逆时针旋转90°为点B,点C绕点A逆时针旋转90°为点G,从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG,故有BG=CE,BG⊥CE.本文将从最常见的两种旋转出发,谈谈旋转在平面几何中的应用。
一、按旋转的角度进行区分
解:将△ABE绕点A作逆时针旋转90°,则AB边与AD边重合,设旋转后E→E′,由条件△CEF的周长为2,即CE+EF+CF=2,又BE+CE+CF+DF=2,且显然有BE=DE′,故CE+ CF+FE′=2.从而必有EF=FE′,又AE=AE′,AF=AF,故△AEF≌△AE'F,∴∠EAF=E'AF,又从作图知∠EAE′=90°,故∠EAF=45°。
例2(北京东城2010年上学期期末)如图,P为正方形ABCD内一点,若PA=a,PB=2a,PC=3a(a>0),求:(1)∠APB的度数;(2)正方形ABCD的面积.
解:(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.
则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.
在△PQC中,∵PC2=9a2,PQ2+QC2=9a2.
∴PC2=PQ2+QC2.∴∠PQC=90°.
∵△PBQ是等腰直角三角形,
∴∠BPQ=∠BQP=45°.
故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.
(2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°,
∴三点A、P、Q在同一直线上.
在Rt△AQC中,AC2=AQ2+QC2=(a+2a)2+a2=(10+4)a2.
故S正方形ABCD= AC2=(5+2)a2.
思考
(1)△PBM是等腰直角三角形,且由勾股定理的逆定理得∠APM=90°;(2)过点B作BN⊥AP,垂足为N.则PN=BN=,于是在△ABN中可求出边长AB的平方,即得正方形的面积.)
例3
分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形.因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中.
证:连接AC.
∵AD=DC,∠ADC=60°,
∴△ADC是等边三角形.
故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得△ACE.连接BE.
于是△DCB≌△ACE且CB=CE,∠BCE=60°.
∴△BCE是等边三角形,∴BC=BE,∠CBE=60°.
∵∠ABC=30°, ∴∠ABE=90°.
故AB2+BC2=AB2+BE2=AE2=BD2.
练习.已知:如图,M是等边△ABC内的一个点,且MA=2cm,MB= cm,MC=4cm,求:△ABC的边AB的长度。
3、旋转到特殊位置
平面几何的证题方法多种多样.利用旋转来解决平面几何问题,有时能收到事半功倍的效果.
分析:一般的证法是证明△ABG与△AEC全等,然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转,则可以如下证明:由已知可知,点E绕点A逆时针旋转90°为点B,点C绕点A逆时针旋转90°为点G,从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG,故有BG=CE,BG⊥CE.本文将从最常见的两种旋转出发,谈谈旋转在平面几何中的应用。
一、按旋转的角度进行区分
解:将△ABE绕点A作逆时针旋转90°,则AB边与AD边重合,设旋转后E→E′,由条件△CEF的周长为2,即CE+EF+CF=2,又BE+CE+CF+DF=2,且显然有BE=DE′,故CE+ CF+FE′=2.从而必有EF=FE′,又AE=AE′,AF=AF,故△AEF≌△AE'F,∴∠EAF=E'AF,又从作图知∠EAE′=90°,故∠EAF=45°。
例2(北京东城2010年上学期期末)如图,P为正方形ABCD内一点,若PA=a,PB=2a,PC=3a(a>0),求:(1)∠APB的度数;(2)正方形ABCD的面积.
解:(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.
则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.
在△PQC中,∵PC2=9a2,PQ2+QC2=9a2.
∴PC2=PQ2+QC2.∴∠PQC=90°.
∵△PBQ是等腰直角三角形,
∴∠BPQ=∠BQP=45°.
故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.
(2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°,
∴三点A、P、Q在同一直线上.
在Rt△AQC中,AC2=AQ2+QC2=(a+2a)2+a2=(10+4)a2.
故S正方形ABCD= AC2=(5+2)a2.
思考
(1)△PBM是等腰直角三角形,且由勾股定理的逆定理得∠APM=90°;(2)过点B作BN⊥AP,垂足为N.则PN=BN=,于是在△ABN中可求出边长AB的平方,即得正方形的面积.)
例3
分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形.因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中.
证:连接AC.
∵AD=DC,∠ADC=60°,
∴△ADC是等边三角形.
故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得△ACE.连接BE.
于是△DCB≌△ACE且CB=CE,∠BCE=60°.
∴△BCE是等边三角形,∴BC=BE,∠CBE=60°.
∵∠ABC=30°, ∴∠ABE=90°.
故AB2+BC2=AB2+BE2=AE2=BD2.
练习.已知:如图,M是等边△ABC内的一个点,且MA=2cm,MB= cm,MC=4cm,求:△ABC的边AB的长度。
3、旋转到特殊位置
平面几何的证题方法多种多样.利用旋转来解决平面几何问题,有时能收到事半功倍的效果.
分析:一般的证法是证明△ABG与△AEC全等,然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转,则可以如下证明:由已知可知,点E绕点A逆时针旋转90°为点B,点C绕点A逆时针旋转90°为点G,从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG,故有BG=CE,BG⊥CE.本文将从最常见的两种旋转出发,谈谈旋转在平面几何中的应用。
一、按旋转的角度进行区分
解:将△ABE绕点A作逆时针旋转90°,则AB边与AD边重合,设旋转后E→E′,由条件△CEF的周长为2,即CE+EF+CF=2,又BE+CE+CF+DF=2,且显然有BE=DE′,故CE+ CF+FE′=2.从而必有EF=FE′,又AE=AE′,AF=AF,故△AEF≌△AE'F,∴∠EAF=E'AF,又从作图知∠EAE′=90°,故∠EAF=45°。
例2(北京东城2010年上学期期末)如图,P为正方形ABCD内一点,若PA=a,PB=2a,PC=3a(a>0),求:(1)∠APB的度数;(2)正方形ABCD的面积.
解:(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.
则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.
在△PQC中,∵PC2=9a2,PQ2+QC2=9a2.
∴PC2=PQ2+QC2.∴∠PQC=90°.
∵△PBQ是等腰直角三角形,
∴∠BPQ=∠BQP=45°.
故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.
(2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°,
∴三点A、P、Q在同一直线上.
在Rt△AQC中,AC2=AQ2+QC2=(a+2a)2+a2=(10+4)a2.
故S正方形ABCD= AC2=(5+2)a2.
思考
(1)△PBM是等腰直角三角形,且由勾股定理的逆定理得∠APM=90°;(2)过点B作BN⊥AP,垂足为N.则PN=BN=,于是在△ABN中可求出边长AB的平方,即得正方形的面积.)
例3
分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形.因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中.
证:连接AC.
∵AD=DC,∠ADC=60°,
∴△ADC是等边三角形.
故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得△ACE.连接BE.
于是△DCB≌△ACE且CB=CE,∠BCE=60°.
∴△BCE是等边三角形,∴BC=BE,∠CBE=60°.
∵∠ABC=30°, ∴∠ABE=90°.
故AB2+BC2=AB2+BE2=AE2=BD2.
练习.已知:如图,M是等边△ABC内的一个点,且MA=2cm,MB= cm,MC=4cm,求:△ABC的边AB的长度。
3、旋转到特殊位置
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