圆锥曲线问题是高考的重点,曲线的切线又是近几年的热点,这类题对学生的要求比较高,充分考查学生的逻辑思维能力,本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。
背景知识
已知圆C:x2+y2= r2(r>0),点A(x0, y0)是圆C上一点,求以点A 为切点的切线方程。
分析:易知以A(x0, y0)为切点的直线方程为:x0x+y0y=r2(r>0).
(2011年江西高考理科第14题)
问题1:若椭圆
解:设A(x1,y1) B(x2,y2)
∵点A、B在圆x2+y2=1上,则
过点A(x1, y1)的切线方程为L1:x1x+y1y=1.
过点B(x2 ,y2)的切线方程为L2:x2x+y2y=1.
由于L1,L2经过点(1,
故(x1, y1)(x2, y2)均为方程x+
∴经过A、B两点的直线方程AB:x+
设椭圆
由于直线AB经过椭圆右焦点和上顶点。
∴c=1
∴a2=b2+c2=5
故椭圆方程为
由此题的解题方法,可得到如下推广:
结论一:(圆的切点弦方程)
过圆x2+y2= r2(r>0),外一点P(a,b)作圆的两切线,切点为M、N,则直线MN的方程为:ax+by=r2
问题2:过椭圆
解:设M(x1, y1) N(x2, y2)则过M、N的切线方程分别为;
由于两切线都过P(1,2),则
这两式表示直线
结论二:(椭圆的切点弦方程)
过椭圆
问题3:过抛物线y2=4x外一点P(-1,-2)作抛物线两切线,切点分别为M、N,求直线MN的方程。
解:设M(x1 y1)N(x2 y2)则过M、N的切线方程为y1y=2(x+x1) y2y=2(x+x2)
由于过M、N的切线都经过P(-1、-2)则-2y1=2(x1-1) -2y2=2(x2-1)
∴直线MN的方程为-2y=2(x-1)即x+y-1=0
结论三:(抛物线的切点弦方程)
过抛物线y2=2px(p>0)外一点P(x0,y0)作两切线,切点为M、N,则直线MN的方程为yy0=p(x+x0)
问题4:过双曲线
解:设两切点的坐标为M(x1,y1)N(x2,y2)则两切线方程为
由于两切线均过P(3,3)则
故(x1, y1)(x2, y2)均为方程
则过M,N的直线方程为:
结论四:(双曲线的切点弦方程)
过双曲线
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