2011年江西高考一道试题解法的推广

──圆锥曲线的切点弦方程

江西省瑞金市第三中学　钟水兵

圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。

 

背景知识

 

已知圆C：x²+y²= r²(r>0),点A(x₀, y₀)是圆C上一点，求以点A 为切点的切线方程。

 

分析：易知以A(x₀， y₀)为切点的直线方程为：x₀x+y₀y=r²(r>0).

 

（2011年江西高考理科第14题）

 

问题1：若椭圆

的焦点在x轴上，过点（1，

）作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 

 

解：设A（x₁，y₁） B(x₂，y₂)

 

∵点A、B在圆x²+y²=1上，则

 

过点A（x₁， y₁）的切线方程为L₁：x₁x+y₁y=1.

 

过点B（x₂ ，y₂）的切线方程为L₂：x₂x+y₂y=1.

 

由于L₁，L₂经过点（1，

）则x₁+

y₁=1   x₂+

y₂=1

 

故（x₁， y₁）（x₂， y₂）均为方程x+

y=1的解。

 

∴经过A、B两点的直线方程AB：x+

y=1

 

设椭圆

的右焦点为（c ,0）,上顶点为（0 ,b）

 

由于直线AB经过椭圆右焦点和上顶点。

 

∴c=1   

即b=2

 

∴a²=b²+c²=5

 

故椭圆方程为

 

由此题的解题方法，可得到如下推广：

 

结论一：（圆的切点弦方程）

 

过圆x²+y²= r²(r>0)，外一点P（a，b）作圆的两切线，切点为M、N，则直线MN的方程为：ax+by=r²

 

问题2：过椭圆

外一点P（1，2）作椭圆的两切线，切点为M、N求直线MN的方程。

 

解：设M（x₁， y₁） N（x₂， y₂）则过M、N的切线方程分别为；

 

      

 

由于两切线都过P（1，2），则

①    

②

 

这两式表示直线

经过M、N，所以直线MN的方程为：

 

结论二：（椭圆的切点弦方程）

 

过椭圆

（a>b>0）外一点P（x₀，y₀）作椭圆的两切线，切点为M、N则直线MN的方程为：

 

问题3：过抛物线y²=4x外一点P（-1，-2）作抛物线两切线，切点分别为M、N，求直线MN的方程。

 

解：设M（x₁ y₁）N（x₂ y₂）则过M、N的切线方程为y₁y=2(x+x₁)  y₂y=2(x+x₂)

 

由于过M、N的切线都经过P（-1、-2）则-2y₁=2(x₁-1)  -2y₂=2(x₂-1)

 

∴直线MN的方程为-2y=2(x-1)即x+y-1=0

 

结论三：（抛物线的切点弦方程）

 

过抛物线y²=2px(p>0)外一点P（x₀,y₀）作两切线，切点为M、N，则直线MN的方程为yy₀=p(x+x₀)

 

问题4：过双曲线

外一点P（3，3）作双曲线两切线，切点分别为M、N，求直线MN的方程。

 

解：设两切点的坐标为M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）则两切线方程为

 

       

 

由于两切线均过P（3，3）则

     

 

故（x₁， y₁）（x₂， y₂）均为方程

的解，

 

则过M，N的直线方程为：

 

结论四：（双曲线的切点弦方程）

 

过双曲线

外一点P（x₀ ，y₀）作双曲线两切线，切点分别为M、N则直线MN的方程为：

2011-07-07  人教网