1.若函数f(x)＝loga(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a的值等于( D )
A. B.
C. D．2
解析：因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，
又f(x)是单调函数，f(0)＝loga1＝0，
所以f(1)＝loga2＝1，所以a＝2.
2.函数f(x)＝(x>0)的值域为( C )
A．(0，＋∞) B．(0，)
C．(0，] D．[，＋∞)
解析：因为f(x)＝>0，
而当x>0时，x＋≥2，x＋＋1≥3，
所以0<≤，故函数的值域为(0，]，选C.
3.(2012·山东省枣庄市上学期期末)函数y＝的值域是( C )
A．[0，＋∞) B．[0,2]
C．[0,2) D．(0,2)
解析：因为2x＞0，所以4－2x＜4，所以0≤<2，即值域为[0,2)．
4.已知函数f(x)＝(2a－1)x＋log(2a－1)(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为2a－1，则a的值为( B )
A．1 B.
C. D.
解析：无论2a－1＞1还是0＜2a－1＜1，函数最大值与最小值均在0或1取得，故(2a－1)0＋log(2a－1)1＋(2a－1)1＋log(2a－1)2＝2a－1，即log(2a－1)2＝－1，所以2a－1＝，即a＝.
5.函数y＝x＋的最小值为1 .
解析：函数的定义域为[1，＋∞)，而它在定义域上递增，所以y的最小值是1.
6.(2012·北京市西城区丰台区一模)已知函数f(x)＝，则函数f(x)的值域为[－，3] .
解析：当1≤x≤9时，函数f(x)＝x是增函数，所以1≤f(x)≤3；当－2≤x＜1时，f(x)＝x2＋x＝(x＋)2－，所以f(－)≤f(x)≤f(－2)，即－≤f(x)≤2，所以函数f(x)的值域为[－，3]．
7.若实数x、y满足x2＋4y2＝4x，则S＝x2＋y2的取值范围是[0,16] .
解析：(方法一)S＝x2＋y2＝x2＋
＝x2＋x＝(x＋)2－.
又因为4y2＝4x－x2≥0，所以0≤x≤4，所以0≤S≤16.
(方法二)注意到x2＋4y2＝4x表示的是一个椭圆，中心是(2,0)，长半轴长是2，且过原点；x2＋y2表示的是椭圆上的点到原点的距离的平方，如右图．易知0≤S≤16.
8.若函数f(x)＝(x－1)2＋a的定义域和值域都是[1，b](b＞1)，求a、b的值．
解析：因为函数f(x)在[1，b]上单调递增，
所以ymin＝a，ymax＝(b－1)2＋a，
即函数的值域为[a，(b－1)2＋a]．
又已知函数的值域为[1，b]，
故，解得(舍去)或.
所以，所求a的值为1，b的值为3.
9.已知函数y＝的定义域为R.当m变化时，若y的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．
解析：由题意知mx2－6mx＋m＋8≥0对x∈R恒成立，
所以m＝0或，所以m∈[0,1]．
(1)当m＝0时，y＝2，所以f(m)＝2.①
(2)当0<m≤1时，y＝.
所以ymin＝，即f(m)＝.
所以0≤f(m)<2.②
由①②可知，0≤f(m)≤2.
所以f(m)的值域为[0,2]．
1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①α⊥γ，β⊥γ?α⊥β； ②α⊥γ，β∥γ?α⊥β；
③l∥α，l⊥β?α⊥β.
其中正确的命题有( C )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：对于①，α与β可能平行、相交或垂直，故①错；②③正确，故选C.
3.(2013·辽宁鞍山五模)已知m是平面α的一条斜线，点A?α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( C )
A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥α D．l∥m，l∥α
解析：对于A，由l∥m，l⊥α，则m⊥α，与已知矛盾；对于B，由l⊥m，l⊥α，可知m∥α或m?α，与已知矛盾；对于D，由l∥m，l∥α可知m∥α或m?α，与已知矛盾．由此排除A，B，D，故选C.
4.(2012·浙江省高考5月份押题)已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m?α，m⊥γ，则有( B )
A．α⊥γ且m∥β B．α⊥γ且l⊥m
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析：m?α，m⊥γ?α⊥γ，又l?γ?m⊥l，故选B.
5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则BC与AC的位置关系是垂直 .
解析：因为PB⊥α，所以PB⊥AC.
又因为PC⊥AC，且PC∩PB＝P，
所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.
6.已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ①③④?②或②③④?①.
7.(2012·皖南八校第二次联考)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有2 个．
解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b?b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α?a⊥b”，此命题为真命题．
8.如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点．
(1)证明：AB⊥MN；
(2)若平面PDC与平面ABCD成45°角，连接AC，取AC的中点O，证明平面MNO⊥平面PDC.
证明：(1)因为N为PC的中点，
所以ON∥PA.
而PA⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD.
所以ON⊥AB.
又四边形ABCD为矩形，M为AB的中点，
所以OM⊥AB，所以AB⊥平面OMN，
所以AB⊥MN.
(2)PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，则PD⊥DC.
故∠PDA为平面PDC与平面ABCD所成锐二面角的平面角，即∠PDA＝45°，所以PA＝AD＝BC.
连接MC，
由Rt△BCM≌RtAPM知，MC＝MP，所以MN⊥PC.
因为AB⊥MN，所以MN⊥CD，
又PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，
所以平面MNO⊥平面PCD.
9.(2012·黑龙江省绥棱县上期期末)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．
(1)求证：AE⊥DA1；
(2)求在线段AA1上找一点G，使AE⊥平面DFG.
解析：(1)连接AD1，BC1，
由正方体的性质可知，
DA1⊥AD1，DA1⊥AB，
又AB∩AD1＝A，
所以DA1⊥平面ABC1D1，
又AE?平面ABC1D1，
所以AE⊥DA1.
(2)所求G点即为A1点，证明如下：
由(1)知AE⊥DA1，
取CD的中点H，连接AH，EH，
由平面几何知识易得DF⊥AH，
又DF⊥EH，AH∩EH＝H，所以DF⊥平面AHE，
所以DF⊥AE，
又因为DF∩A1D＝D，
所以AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.
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