江西省宜春市上高二中2017届高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年江西省宜春市上高二中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5，6}，B={1，3}，则（?_IA）∩B等于（）

A．{1，3，4} B．{1，3} C．{1} D．?

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】根据题意和补集、并集的运算分别求出?_IA和（?_IA）∩B．

【解答】解：因为全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5，6}，

所以?_IA={1，4}，

又B={1，3}，

则（?_IA）∩B={1}，

故选：C．

2．下列命题中真命题的个数是（ ）

①?x∈R，x⁴＞x²；

②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；

③命题“?x∈R，x³﹣x²+1≤0”的否定是“?x∈R，x³﹣x²+1＞0”．

A．0 B．1 C．2 D．3

【考点】命题的否定；四种命题的真假关系．

【分析】要说明一个命题不正确，举出反例即可①当x=0时不等式不成立，②根据复合命题真值表可知，“p∧q”是假命题，只需两个命题中至少有一个为假即可；③全称命题的否定是特称命题，既要对全称量词进行否定，又要否定结论，故正确．

【解答】解：易知①当x=0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假；

②错，只需两个命题中至少有一个为假即可；

③正确，全称命题的否定是特称命题，

即只有一个命题是正确的，

故选B．

3．下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）

A．

与

B．

与y=|x|

C．

与

D．f（x）=x²﹣2x﹣1与g（t）=t²﹣2t﹣1

【考点】判断两个函数是否为同一函数．

【分析】分别求函数的定义域和值域，前三个选项，第一个值域不同，第二和第三两个函数的定义域不同，只有最后一个函数，字母不影响函数相同．

【解答】解：在A选项中，前者的y属于非负数，后者的y≤0，两个函数的值域不同，

在B选项中，前者的定义域x≥0，后者的x∈R，定义域不同．

在C选项中，前者定义域为x＞1，后者为x＞1或x＜﹣1，定义域不同．

在D选项中，两个函数是同一个函数，

故选D．

4．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】充要条件．

【分析】求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．

【解答】解：∵|x﹣2|＜1，

∴1＜x＜3，

∵“1＜x＜2”

∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．

故选：A

5．已知函数f（x）=

，则f[f（﹣1）]等于（ ）

A．3 B．2 C．﹣1+log₂7 D．log₂5

【考点】函数的值．

【分析】利用分段函数的性质求解．

【解答】解：∵f（x）=

，

∴f（﹣1）=2^{﹣（﹣1）}=2，

f[f（﹣1）]=f（2）=log₂8=3．

故选：A．

6．下列函数中，最小值是2的是（ ）

A．y=

B．y=

C．y=

D．y=log₃x+log_x3

【考点】基本不等式．

【分析】运用基本不等式，即可得出结论．

【解答】解：对于A，x＞0时，函数的最小值是2，故不正确；

对于B，y=

+

≥2，x=0时，函数的最小值是2，故正确；

对于C，运用基本不等式，等号不能取，故不正确；

对于D，x＞1时，函数的最小值是2，故不正确；

故选：B．

7．若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则（ ）

A．f（﹣1.5）＜f（﹣1）＜f（2） B．f（﹣1）＜f（﹣1.5）＜f（2） C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣1.5）D．f（2）＜f（﹣1.5）＜f（﹣1）

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】由函数的奇偶性、单调性把f（2）、f（﹣1.5）、f（﹣1）转化到区间（﹣∞，﹣1]上进行比较即可．

【解答】解：因为f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，

又﹣2＜﹣1.5＜﹣1≤﹣1，所以f（﹣2）＜f（﹣1.5）＜f（﹣1），

又f（x）为偶函数，所以f（2）＜f（﹣1.5）＜f（﹣1）．

故选D．

8．直角梯形ABCD如图1，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x）．如果函数y=f（x）的图象如图2所示，则△ABC的面积为（）

A．10 B．32 C．18 D．16

【考点】函数的图象与图象变化．

【分析】由y=f（x）的图象可知，当x由0→4时，f（x）由0变成最大，说明BC=4，由x从4→9时f（x）不变，说明此时P点在DC上，即CD=5，由x从9→14时f（x）变为0，说明此时P点在AD上，即AD=5．所以可求AB的长，最后求出答案．

【解答】解：由题意知，BC=4，CD=5，AD=5

过D作DG⊥AB

∴AG=3，由此可求出AB=3+5=8．

S_△ABC=

AB·BC=

×8×4=16．

故选D．

9．某商店已按每件80元的成本购进某种上装1000件，根据市场预测，当每件售价100元时可全部售完，若定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，则销售价应定为（）

A．110元 B．130元 C．150元 D．190元

【考点】根据实际问题选择函数类型．

【分析】假设提高售价x元，获得总利润y元，则单件的利润为20+x，售量为1000﹣5x．先利用利润等于单件的利润乘以售量，得到函数y．再通过二次函数的对称轴公式求出对称轴；在对称轴处取得最大值．

【解答】解：假设提高售价x元，获得总利润y元

由题意得，y=（20+x）﹣80×5x=﹣5x²+500x+20000（0≤x≤200，x∈N）

∵对称轴x=50∴当x=50即售价定为150元时，利润最大；

y_max=﹣5×2500+500×50+20000=32500

∴售价定为150元时，利润最大．

故选C

10．已知p：﹣2≤x≤10，q：x²﹣2x+1﹣a²≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）

A．（0，3] B．[3，+∞） C．[9，+∞） D．[3，9]

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

【解答】解：非p：x＞10或x＜﹣2，A={x|x＞10或x＜﹣2}，

q：x²﹣2x+1﹣a²≥0，x≥1+a或x≤1﹣a，

记B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}，

若非p是q的充分不必要条件，

即A?B，

即

，

∴0＜a≤3．

故选：A

11．已知f（x）=ax²+bx+c（a＞0），α，β为方程f（x）=x的两根，且0＜α＜β，当0＜x＜α时，给出下列不等式，成立的是（ ）

A．x＜f（x） B．x≤f（x） C．x＞f（x） D．x≥f（x）

【考点】二次函数的性质．

【分析】先由已知α，β为方程f（x）=x的两根转化为α，β为方程F（x）=ax²+（b﹣1）x+c=0的两根；画出对应图象即可找出结论．

【解答】解：α，β为方程f（x）=x的两根，即α，β为方程F（x）=ax²+（b﹣1）x+c=0的两根，

∵a＞0且0＜α＜β，对应图象如下

故当0＜x＜α时F（x）＞0，即f（x）＞x

故选 A．

12．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e^x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）

A．1 B．e+l C．3 D．e+3

【考点】函数单调性的性质．

【分析】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．

【解答】解：设t=f（x）﹣e^x，

则f（x）=e^x+t，则条件等价为f（t）=e+1，

令x=t，则f（t）=e^t+t=e+1，

∵函数f（x）为单调递增函数，

∴函数为一对一函数，解得t=1，

∴f（x）=e^x+1，

即f（ln2）=e^ln2+1=2+1=3，

故选：C．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知函数y=f（x+1）定义域是{x|﹣2≤x≤3}，则y=f（2|x|﹣1）的定义域是

．

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】求出f（x）的定义域，得到不等式﹣1≤2|x|﹣1≤4，解出即可．

【解答】解：﹣2≤x≤3，

∴﹣1≤x+1≤4，

∴﹣1≤2|x|﹣1≤4，

∴0≤|x|≤

，

解得：﹣

≤x≤

，

故答案为：

．

14．已知p：关于x的方程x²+mx+1=0有两个不等的负实数根，若￢p是真命题，则实数m的取值范围是（﹣∞，2] ．

【考点】命题的否定．

【分析】求出命题p是真命题时m的取值范围，再得出^?p是真命题时m的取值范围即可．

【解答】解：∵命题p：关于x的方程x²+mx+1=0有两个不等的负实数根，

∴设x₁，x₂是方程的两个负实数根，则

，

即

；

解得m＞2；

∴当^?p是真命题时，m的取值范围是（﹣∞，2]．

故答案为：（﹣∞，2]．

15．设函数f（x）=﹣2x²+4x在区间[m，n]上的值域是[﹣6，2]，则m+n的取值的范围是[0，4] ．

【考点】二次函数的性质．

【分析】分别求出f（x）=﹣6和f（x）=2的解，根据f（x）的单调性得出m+n的最值．

【解答】解：令f（x）=﹣6解得x=﹣1或x=3，令f（x）=2得x=1．

又f（x）在[﹣1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，

∴当m=﹣1，n=1时，m+n取得最小值0，

当m=1，n=3时，m+n取得最大值4．

故答案为[0，4]．

16．已知log₂（x+y）=log₂x+log₂y，则

+

的最小值是 25 ．

【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．

【分析】利用导数的运算法则化简已知条件，化简所求的表达式，利用基本不等式求解最值即可．

【解答】解：log₂（x+y）=log₂x+log₂y，可得x，y＞0，x+y=xy．

+

=4+

+9+

=13+

=4y+9x=（4y+9x）（

）=13+

≥13+2

=25．

当且仅当x=

，y=

时表达式取得最小值．

故答案为：25．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知p：1＜2^x＜8；q：不等式x²﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．

【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】由已知可求p：0＜x＜3，由￢p是￢q的必要条件可知p是q的充分条件，从而可得x²﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，进而转化为m

=

对于任意的x∈（0，3）恒成立，利用基本不等式可求

【解答】解：∵1＜2^x＜8

∴p：0＜x＜3

∵￢p是￢q的必要条件

∴p是q的充分条件即p?q

∵x²﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，

∴m

=

对于任意的x∈（0，3）恒成立，

∵

=4，当且仅当x=

即x=2时等号成立

∴m≤4

18．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（Ⅰ）由频率分布直方图估计50名学生数学成绩的中位数和平均数；

（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．

【分析】（Ⅰ）由直方图知，成绩在[50，80）内的频率为0.62，从而中位数在[70，80）内，设中位数为x，由频率分布直方图列出方程，能求出中位数，利用频率分布直方图的性质能求出平均数．

（Ⅱ）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为2人，设成绩为x，y，成绩在[90，100]的人数为3人，设成绩为a、b、c，由此列举法能求出事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数．

【解答】解：（Ⅰ）由直方图知，成绩在[50，80）内的频率（0.004+0.018+0.04）×10=0.62，

所以中位数在[70，80）内，

设中位数为x，则（0.004+0.018）×10+0.04×（x﹣70）=0.5，解得x=77，所以中位数是77，

设平均数为

，则

．

（Ⅱ）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x，y，

成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，若m，n∈[50，60）时，

只有xy一种情况，若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况，

若m，n分别在[50，60）和[90，100）内时，有xa，xb，xc，ya，yb，yc，共有6种情况，

∴基本事件总数为10种，事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种，

∴p（|m﹣n）＞10）=

．

19．二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．

（1）求f（x）的解析式；

（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

【考点】二次函数的性质．

【分析】（1）先设f（x）=ax²+bx+c，在利用f（0）=1求c，再利用两方程相等对应项系数相等求a，b即可．

（2）转化为x²﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立问题，找其在[﹣1，1]上的最小值让其大于0即可．

【解答】解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1．

因为f（x+1）﹣f（x）=2x，所以a（x+1）²+b（x+1）+1﹣（ax²+bx+1）=2x．

即2ax+a+b=2x，所以

，∴

，

所以f（x）=x²﹣x+1

（2）由题意得x²﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立．即x²﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立．

设g（x）=x²﹣3x+1﹣m，其图象的对称轴为直线

，所以g（x）在[﹣1，1]上递减．

故只需最小值g（1）＞0，即1²﹣3×1+1﹣m＞0，

解得m＜﹣1．

20．已知平行四边形ABCD，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A₁DE位置，使得A₁C=4，F是线段A₁C的中点．

（1）求证：BF∥面A₁DE；

（2）求证：面A₁DE⊥面DEBC；

（3）求四棱锥A₁﹣DEBC的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

【分析】（1）取DA₁的中点G，连接FG、GE，通过证明BF∥EG，利用直线与平面平行的判定定理证明BF∥平面A₁DE．

（2）取DE的中点H，连接A₁H、CH，通过证明A₁H⊥面DEBC，然后通过平面与平面垂直的判定定理证明面A₁DE⊥面DEBC．

（3）利用（2）的结果，直接求解几何体的体积即可．

【解答】（本题14分）

解：（1）证明：取DA₁的中点G，连接FG、GE，

∵F为A₁C中点，

∴GF∥DC，且

，

∵E为平行四边形ABCD边AB的中点，

∴EB∥DC，且

，

∴EB∥GF，且EB=GF，

∴四边形BFGE是平行四边形，

∴BF∥EG，

∵EG?平面A₁DE，BF?平面A₁DE

∴BF∥平面A₁DE…

（2）取DE的中点H，连接A₁H、CH，

∵AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，

∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA₁E也为等边三角形，

∴A₁H⊥DE，且

，

在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°

根据余弦定理，可得

，

在△A₁HC中，

，HC=13，A₁C=4，

∴

，即A₁H⊥HC

又∵

，所以A₁H⊥面DEBC

又∵A₁H?面A₁DE∴面A₁DE⊥面DEBC…

（3）由第（2）问知A₁H⊥面DEBC，

…

21．已知函数f（x）=

．

（1）求f（x）的值域；

（2）设函数g（x）=ax﹣3，x∈[﹣1，1]，若对于任意x₁∈[﹣1，1]，总存在x₀∈[﹣1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

【考点】分段函数的应用．

【分析】（1）根据分段函数的解析式即可求出函数的值域，

（2）分类讨论，根据函数的值域和g（x）的单调性即可求出a的范围．

【解答】解：（1）当

时，由定义易证函数

在

上是减函数，此时

；

当

时，

；当

时，

在

上是增函数，

此时

．

∴f（x）的值域为

．

（2）①若a=0，g（x）=﹣3，对于任意x₁∈[﹣1，1]，

，

不存在x₀∈[﹣1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立．

②若a＞0，g（x）=ax﹣3在[﹣1，1]上是增函数，g（x）∈[﹣a﹣3，a﹣3]，

任给x₁∈[﹣1，1]，

，

若存在x₀∈[﹣1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，

则

，

∴

，

∴a≥3．

③若a＜0，g（x）=ax﹣3在[﹣1，1]上是减函数，g（x）∈[a﹣3，﹣a﹣3]，若存在x₀∈[﹣1，1]，使g（x₀）=f（x₁）成立，

则

．

∴

，

∴a≤﹣3．

综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．

22．设函数f（x）=ka^x﹣a^﹣x（a＞0且a≠1）是定义域R上的奇函数．

（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；

（2）若f（1）=

，且g（x）=a^2x+a^﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．

【分析】先利用f（x）为R上的奇函数得f（0）=0求出k以及函数f（x）的表达式，

（1）利用f（1）＞0求出a的取值范围以及函数f（x）的单调性，再把不等式f（x²+2x）+f（x﹣4）＞0利用函数f（x）是奇函数进行转化，再利用求得的单调性解不等式即可；

（2）先由f（1）=

得a=2，得出函数f（x）的单调性，再对g（x）进行整理，整理为用f（x）表示的函数，最后利用函数f（x）的单调性以及最值来求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

【解答】解：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，∴k﹣1=0?k=1，

∴f（x）=a^x﹣a^﹣x

（1）∵f（1）＞0，∴a﹣a^﹣1＞0，a＞0，∴a＞1．

∴f（x）为R上的增函数

由f（x²+2x）+f（x﹣4）＞0得：f（x²+2x）＞f（4﹣x）

即：x²+3x﹣4＞0?x＜﹣4或x＞1．

即不等式的解集（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．

（2）由f（1）=

得a=2，

由（1）可知f（x）为[1，+∞）上的增函数．

f（x）≥f（1）=

所以g（x）=a^2x+a^﹣2x﹣4f（x）=（f（x）﹣2）²﹣2≥﹣2（当f（x）=2时取等号）

故g（x）在[1，+∞）上的最小值﹣2．

2016年10月23日