福建省宁德市福安高中、霞浦七中、周宁十中联考2016届高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

2015-2016学年福建省宁德市福安高中、霞浦七中、周宁十中联考高三（上）期中数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={﹣1，1}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合B等于（ ）

A．{﹣2，2} B．{﹣2，0，2} C．{﹣2，0} D．{0}

【考点】集合的表示法．

【分析】根据集合B的元素关系确定集合B即可．

【解答】解：∵A={﹣1，1}，x∈A，y∈A，

∴x=﹣1，或x=1，y=﹣1或y=1，

则m=x+y=0，﹣2，2，

即B={﹣2，0，2}．

故选：B．

2．在复平面内，若z=m﹣3+mi 所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）

A．（0，3） B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，0） D．（3，4）

【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】由z=m﹣3+mi 所对应的点（m﹣3，m）在第二象限，则

，解出即可得出．

【解答】解：若z=m﹣3+mi 所对应的点（m﹣3，m）在第二象限，则

，解得0＜m＜3．

实数m的取值范围是（0，3），

故选：A．

3．sin300°等于（ ）

A．﹣

B．

C．﹣

D．

【考点】运用诱导公式化简求值．

【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．

【解答】解：sin300°=sin=﹣sin60°=﹣

．

故选A

4．命题“?x²＞1，x≤1”的否定是（ ）

A．?x²＞1，x≤1 B．?x²≤1，x≤1C．?x²＞1，x＞1 D．?x²≤1，x≤1

【考点】命题的否定．

【分析】利用命题的否定即可得出．

【解答】解：命题“?x²＞1，x≤1”的否定是：?x²＞1，则x＞1．

故选：C．

5．已知a·b＜|a·b|，则有（ ）

A．a·b＜0 B．a＜b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0＜b

【考点】绝对值不等式．

【分析】由a·b＜|a·b|可知a·b＜0，即a，b异号．

【解答】解：∵a·b＜|a·b|，∴a·b＜0，

故选：A．

6．已知tanx=2，则

（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，代入求解即可．

【解答】解：tanx=2，则

=2﹣tanx=2﹣2=0．

故选：D．

7．已知|

|=1，|

|=2，＜

，

＞=60°，则|

﹣

|=（ ）

A．1 B．2 C．

D．4

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】即（

）²，开方即为|

|．

【解答】解：

=1×2×cos60°=1，

∴（

）²=

=3，

∴|

|=

．

故选：C．

8．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（ ）

A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5

【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．

【分析】根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．

【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，

∵f（2）=1，

∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，

∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，

∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．

故选D．

9．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组

所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ）

A．0 B．1 C．

D．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用斜率的几何意义即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由图象可知当点M位于A时，直线的斜率最小，

由

，解得

，

即A（3，﹣2），

∴OM的斜率k=﹣

，

故直线OM斜率的最小值为

，

故选：C．

10．在等差数列{a_n}中，a₂=1，a₄=5，则{a_n}的前5项和S₅=（）

A．7 B．15 C．20 D．25

【考点】等差数列的性质．

【分析】利用等差数列的性质，可得a₂+a₄=a₁+a₅=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．

【解答】解：∵等差数列{a_n}中，a₂=1，a₄=5，

∴a₂+a₄=a₁+a₅=6，

∴S₅=

（a₁+a₅）=

故选B．

11．将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移

个单位长度，所得图象经过点

，则ω的最小值是（ ）

A．

B．1 C．

D．2

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】图象变换后所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣

），再由所得图象经过点

可得sinω（

﹣

）=sin（ω

）=0，故ω·

=kπ，由此求得ω的最小值．

【解答】解：将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移

个单位长度，所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣

）．

再由所得图象经过点

可得sinω（

﹣

）=sin（ω

）=0，∴ω·

=kπ，k∈z．

故ω的最小值是2，

故选D．

12．函数f（x）=sinx+cos2x的图象为（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】函数的图象．

【分析】根据函数f（x）=sinx+cos2x不是奇函数，也不是偶函数，故它的图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，故排除A、D．再根据当x=±π时，函数的值等于1；故排除C，从而得到结论．

【解答】解：由于函数f（x）=sinx+cos2x不是奇函数，也不是偶函数，故它的图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，故排除A、D．

再根据当x=±π时，函数的值等于1；故排除C，

故选B．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上）

13．（a﹣4）²+|2﹣b|=0，则a^b= ．

【考点】有理数指数幂的化简求值．

【分析】根据指数幂的运算性质即可求出．

【解答】解：（a﹣4）²+|2﹣b|=0，

则a=4，b=2，

则a^b=4²=16，

故答案为：16．

14．设

=（1，2），

=（﹣1，x），若

⊥

，则x= ．

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．

【分析】由向量的垂直关系可得的x的方程，解方程可得．

【解答】解：∵

=（1，2），

=（﹣1，x），且

⊥

，

∴

·

=1×（﹣1）+2x=0，解得x=

故答案为：

15．已知函数f（x）=

，则f[f（

）]的值是 ．

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．

【分析】先求

，

，故代入x＞0时的解析式；求出

=﹣2，

，再求值即可．

【解答】解：

，

故答案为：

16．一种计算的游戏，计算

=﹣8，

=﹣7，

=16，请你帮忙算一算，

= ．

【考点】二阶行列式的定义．

【分析】利用二阶行列式的展开法则直接求解即可．

【解答】解：

=5×5﹣6×3=7．

故答案为：7．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）^x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

【考点】复合命题的真假．

【分析】容易求出命题p为真时，﹣2＜a＜2，而q为真时，a＜1．由p或q为真，p且q为假便可得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况的a的范围，再求并集即可得出实数a的取值范围．

【解答】解：①若命题p为真，则：△=4a²﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2；

②若命题q为真，则：3﹣2a＞1，∴a＜1；

∴若p或q为真，p且q为假，则p真q假，或p假q真；

∴

，或

；

∴1≤a＜2，或a≤﹣2；

∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，2）．

18．如图，在四边形ABCD中，CA=CD=

AB=1，

=1，sin∠BCD=

．

（1）求BC的长；

（2）求四边形ABCD的面积；

（3）求sinD的值．

【考点】解三角形的实际应用．

【分析】（1）根据题意可分别求得AC，CD和AB，利用

=1，利用向量的数量积的性质求得cos∠BAC的值，进而求得∠BAC，进而利用余弦定理求得BC的长．

（2）根据（1）可求得BC²+AC²=AB²．判断出∴∠ACB=

，进而在直角三角形中求得cos∠ACD的值，利用同角三角函数的基本关系气的sin∠ACD，然后利用三角形面积公式求得三角形ABC和ACD的面积，二者相加即可求得答案．

（3）在△ACD中利用余弦定理求得AD的长，最后利用正弦定理求得sinD的值．

【解答】解：（1）由条件，得AC=CD=1，AB=2．

∵

=1，∴1×2×cos∠BAC=1．则cos∠BAC=

．

∵∠BAC∈（0，π），∴∠BAC=

．

∴BC²=AB²+AC²﹣2AB·ACcos∠BAC=4+1﹣2×2×

=3．

∴BC=

．

（2）由（1）得BC²+AC²=AB²．

∴∠ACB=

．

∴sin∠BCD=

=

．

∵∠ACD∈∈（0，π），∴

．

∴S_△ACD=

×1×1×

=

．

∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=

．

（3）在△ACD中，

AD²=AC²+DC²﹣2AC·DCcos∠ACD=1+1﹣2×1×1×

=

．

∴AD=

．

∵

，

∴

．

19．已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣1

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最大值；

（Ⅱ）若g（x）=f（x+φ），（﹣

＜φ＜

）在x=

处取得最大值，求φ的值．

【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．

【分析】（I）利用倍角公式化简f（x）为一个角的三角函数，再根据正弦函数的最小正周期的定义即可求出周期，根据三角函数的性质即可求出最大值，

（II）可求得g（x）=

sin（2x+2φ﹣

），利用在x=

处取得最大值时，2×

+2φ﹣

=

+2kπ，k∈z，求出φ．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣1=sin2x﹣cos2x=

sin（2x﹣

），

∴f（x）的最小正周期T=

=π，最大值为

，

（Ⅱ）g（x）=f（x+φ），

∴g（x）=f（x+φ）=

sin[2（x+φ）﹣

]=

sin（2x+2φ﹣

），

∵g（x）在x=

处取得最大值，

∴2×

+2φ﹣

=

+2kπ，k∈Z，

∴φ=

+kπ，

∵﹣

＜φ＜

，

∴φ=

．

20．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．

（1）求函数y=f（x）的解析式及其定义域；

（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

【考点】分段函数的应用．

【分析】（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；

（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．

【解答】解：（1）当x≤6时，y=50x﹣115，令50x﹣115＞0，

解得x＞2.3．

∵x∈N^*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N^*，

当x＞6时，y=[50﹣3（x﹣6）]x﹣115．

令[50﹣3（x﹣6）]x﹣115＞0，有3x²﹣68x+115＜0，

上述不等式的整数解为2≤x≤20（x∈N^*），

∴6＜x≤20（x∈N^*）．

故y=

，

定义域为{x|3≤x≤20，x∈N^*}．

（2）对于y=50x﹣115（3≤x≤6，x∈N^*）．

显然当x=6时，y_max=185（元），

对于y=﹣3x²+68x﹣115=﹣3

+

（6＜x≤20，x∈N^*）．

当x=11时，y_max=270（元）．

∵270＞185，

∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．

21．函数f（x）=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（x））的切线方程为y=3x+1．

（1）若y=f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式；

（2）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数b的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）由于函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，所以f（1）=4，f′（1）=3，又因为y=f（x）在x=﹣2时有极值，所以f′（﹣2）=0，列三个方程解之即可

（2）由于函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，所以f′（1）=3，所以2a=﹣b，欲使函数y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，只需f′（x）=3x²﹣bx+b≥0在区间（1，+∞）上恒成立，转化为b≥

在区间（1，+∞）上恒成立，利用函数性质求此函数的最大值即可

【解答】解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，

依题意

，

解得a=2，b=﹣4，c=5，

∴f（x）=x³+2x²﹣4x+5；

（2）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，

∴f′（1）=3，∴2a=﹣b

∴f′（x）=3x²﹣bx+b

依题意欲使函数y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，只需f′（x）=3x²﹣bx+b≥0在区间（1，+∞）上恒成立

即b≥

在区间（1，+∞）上恒成立

设t=x﹣1（t＞0），则

=

=3（t+

+2）≥12，当且仅当t=1，x=2时取等号

∴b≥12时，函数y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递增

请考生在下列两道22题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

22．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）

已知曲线C₁的参数方程为

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．

（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

【考点】参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．

【分析】（Ⅰ）对于曲线C₁利用三角函数的平方关系式sin²t+cos²t=1即可得到圆C₁的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C₁的极坐标方程；

（Ⅱ）先求出曲线C₂的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C₁与C₂交点的极坐标．

【解答】解：（Ⅰ）曲线C₁的参数方程式

（t为参数），

得（x﹣4）²+（y﹣5）²=25即为圆C₁的普通方程，

即x²+y²﹣8x﹣10y+16=0．

将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．

ρ²﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C₁的极坐标方程；

（Ⅱ）曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x²+y²﹣2y=0，

由

，解得

或

．

∴C₁与C₂交点的极坐标分别为（

，

），（2，

）．

23．已知{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，S_n表示{a_n}的前n项和．

（Ⅰ）求a_n及S_n；

（Ⅱ）设{b_n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q²﹣（a₄+1）q+S₄=0．求{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

【考点】数列的求和；等差数列的性质．

【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案；

（Ⅱ）求出a₄和S₄，代入q²﹣（a₄+1）q+S₄=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案．

【解答】解：（Ⅰ）∵{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，

∴a_n=a₁+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a₄=7，S₄=16．

∵q²﹣（a₄+1）q+S₄=0，即q²﹣8q+16=0，

∴（q﹣4）²=0，即q=4．

又∵{b_n}是首项为2的等比数列，

∴

．

．

2016年10月12日