每日一题[639]一数之差（导数）

　　已知函数

　　

　　()．

　　(1)(2012年北京市朝阳区高三期末)若的最小值为，求实数的取值范围；

　　(2)(2012年北京市四中高三月考)若的最小值为，求实数的取值范围．

　　

　　分析与解显然根据题意有，而函数的导函数

　　

　　(1) 注意到，因此，从而，否则在

　　

　　上，单调递减，又，不符合题意．

　　当时，有在上单调递增，符合题意．

　　综上所述，实数的取值范围是．

　　(2) 法一（直接分析）

　　根据(1)，必然有．此时的极小值，亦为最小值为

　　

　　设，则．

　　情形一当时，有

　　

　　不符合题意．

　　情形二当时，有

　　

　　有

　　

　　于是在上单调递减，因此，等号当且仅当，即时取得．

　　综上所述，实数的取值范围是．

　　法二（分离变量）

　　根据题意，有

　　

　　且等号可以取得．设右侧函数为，则其导函数

　　

　　令

　　

　　，则，设，则其导函数于是在上单调递增，结合，可得在上单调递增（因为时，，从而有，所以），在上单调递减（因为时，，从而有，所以），且有极大值，亦最大值．因此的取值范围为．