2016-2017学年广东省广州市海珠区高三(上)调研数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2016秋·海珠区月考)已知集合M={﹣2,0,2,4},N={x|x2<9},则M∩N=()
A.{0,2} B.{﹣2,0,2} C.{0,2,4} D.{﹣2,2}
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题;转化思想;综合法;集合.
【分析】先求出集合N,由此利用交集的定义能求出M∩N.
【解答】解:∵集合M={﹣2,0,2,4},
N={x|x2<9}={x|﹣3<x<3},
∴M∩N={﹣2,0,2}.
故选:B.
【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.
2.(5分)(2016秋·海珠区月考)复数(﹣i)3(其中i为虚数单位)的值是( )
A.﹣i B.i C.﹣1 D.1
【考点】复数代数形式的混合运算.
【专题】计算题;转化思想;数系的扩充和复数.
【分析】利用复数的1的立方根求解即可.
故选:C.
【点评】本题考查复数的基本运算,1的立方根的性质,考查计算能力.
3.(5分)(2013·宁德二模)要得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】根据函数y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,得出结论.
【解答】解:将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度,可得函数y=sin2(x+)=sin(2x+)的图象,
故选A.
【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,属于中档题.
4.(5分)(2016秋·海珠区月考)已知甲、乙两组数据如图茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的m,n的比值=( )
【考点】茎叶图.
【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.
【分析】由茎叶图性质及甲、乙两组数据的中位数相同,平均数也相同,列出方程组,能求出m,n,由此能求出结果.
【解答】解:甲、乙两组数据如图茎叶图所示,
∵它们的中位数相同,平均数也相同,
解得m=3,n=8,
故选:A.
【点评】本题考查两数比值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意茎叶图的性质的合理运用.
5.(5分)(2016秋·海珠区月考)如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为()
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】简单空间图形的三视图.
【专题】计算题;转化思想;立体几何.
【分析】分析三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状,并求出面积,相加可得答案.
【解答】解:三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1,高为2的三角形,面积为:1;
三棱锥P﹣BCD的假视图也是底面边长为1,高为2的三角形,面积为:1;
故三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为2,
故选:A
【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,根据已知分析出三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状,是解答的关键.
6.(5分)(2015·宿州一模)设点P是双曲线上的一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且
|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率为( )
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】根据双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a,进而根据|PF1|=2|PF2|,分别求得|PF2|和|PF1|,进而根据勾股定理建立等式求得a和c的关系,则离心率可得.
【解答】解:由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,
又|PF1|=2|PF2|,
得|PF2|=2a,|PF1|=4a;
在RT△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2,
故选D.
【点评】本题主要考查了双曲线的离心率的求法.考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握.
7.(5分)(2016秋·海珠区月考)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(2,﹣1)和坐标满足的动点M(x,y),则目标函数z=的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【考点】简单线性规划.
【专题】数形结合;转化法;不等式.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用向量数量积公式计算z根据z的几何意义,结合数形结合进行求解即可.
【解答】解:通解因为z=,则z=2x﹣y,根据线性约束条件,作出可行域如图中阴影部分所示,目标函数
z=2x﹣y 的图象与直线y=2x 平行,由可行域知,当直线y=2x﹣z 经过点(2,﹣1)时,目标函数可以取到最大
值5.
法2.最优解由约束条件确定的可行域为三角形,其顶点的坐标分别为(﹣1,﹣1),(,),(2,﹣1),
故选:B.
【点评】本题主要考查简单的线性规划等基础知识,考查考生的数形结合能力、转化与化归能力及运算求解能力.
8.(5分)(2015秋·桂林校级期中)函数f(x)=x﹣ln|x|的图象为( )
【考点】函数的图象.
【专题】作图题;数形结合;函数的性质及应用.
【分析】易知当x<0时,f(x)=x﹣ln(﹣x)是增函数,从而利用排除法求得.
【解答】解:当x<0时,f(x)=x﹣ln(﹣x)是增函数,
故排除A,C,D;
故选:B.
【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用,单调性表述了图象的变化趋势.
9.(5分)(2016秋·海珠区月考)若c>1,0<b<a<1,则( )
A.ac<bcB.bac<abc
C.alogbc<blogacD.logac<logbc
E.alogbc<blogac
【考点】不等式的基本性质.
【专题】转化思想;综合法;不等式.
【分析】利用幂函数、对数函数与指数函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵0<b<a<1,c>1,
∴ac>bc,故A错误,
bc﹣1<ac﹣1即abc<bac,
故B错误,
alogbc﹣blogac
∵c>1,∴lgc>0,
∵0<b<a<1,
∴lgalgb>0,alga>blgb,
∴alogbc>blogac,故C错误,
故选:D.
【点评】本题考查了幂函数、对数函数与指数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力.
10.(5分)(2016·山东)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1﹣sinA),则A=()
【考点】余弦定理的应用;正弦定理.
【专题】方程思想;转化法;解三角形.
【分析】利用余弦定理,建立方程关系得到1﹣cosA=1﹣sinA,即sinA=cosA,进行求解即可.
【解答】解:∵b=c,
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=2b2﹣2b2cosA=2b2(1﹣cosA),
∵a2=2b2(1﹣sinA),
∴1﹣cosA=1﹣sinA,
则sinA=cosA,即tanA=1,
故选:C
【点评】本题主要考查解三角形的应用,根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键.
11.(5分)(2016秋·海珠区月考)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )
A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2
【考点】程序框图.
【专题】综合题;转化思想;综合法;算法和程序框图.
【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的i,S,A的值,观察规律可得S的取值以6为周期,A的取值以3为周期,从而有当i=2017时,满足i>2016,退出循环,输出S的值为2,从而得解.
【解答】解:模拟执行程序,可得
i=0,S=1,A=2
不满足i>2016,i=2,S=1,A=﹣1
不满足i>2016,i=3,S=﹣1,A=2
不满足i>2016,i=5,S=﹣1,A=﹣1
不满足i>2016,i=6,S=1,A=2
不满足i>2016,i=8,S=1,A=﹣1
不满足i>2016,i=9,S=﹣1,A=2
不满足i>2016,i=11,S=﹣1,A=﹣1
不满足i>2016,i=12,S=1,A=2
…
观察规律可知,S的取值以6为周期,A的取值以3为周期,从而有:
不满足i>2016,i=2015,S=﹣1,A=﹣1
不满足i>2016,i=2016,S=1,A=2
满足i>2016,退出循环,输出S的值为2.
故选:D.
【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答,属于基本知识的考查.
12.(5分)(2014·北京模拟)设奇函数f(x)在[﹣1,1]上是增函数,且f(﹣1)=﹣1,若函数f(x)≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1,1]都成立,则当a∈[﹣1,1]时,t的取值范围是()
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】探究型.
【分析】奇函数f(x)在[﹣1,1]上是增函数,且f(﹣1)=﹣1,在[﹣1,1]最大值是1,由此可以得到1≤t2﹣2at+1,因其在a∈[﹣1,1]时恒成立,可以改变变量,以a为变量,利用一次函数的单调性转化求解.
【解答】解:奇函数f(x)在[﹣1,1]上是增函数,且f(﹣1)=﹣1,在[﹣1,1]最大值是1,
∴1≤t2﹣2at+1,
当t=0时显然成立
当t≠0时,则t2﹣2at≥0成立,又a∈[﹣1,1]
令r(a)=﹣2ta+t2,a∈[﹣1,1]
当t>0时,r(a)是减函数,故令r(1)≥0,解得t≥2
当t<0时,r(a)是增函数,故令r(﹣1)≥0,解得t≤﹣2
综上知,t≥2或t≤﹣2或t=0
故选C.
【点评】本题是一个恒成立求参数的问题,此类题求解的关键是解题中关系的转化,本题借助单调性确定最值进行转化,这是不等式型恒成立问题常用的转化技巧.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.(5分)(2016秋·海珠区月考)设向量=(x﹣1,2),=(1,x),且⊥,则x= .
【考点】平面向量的坐标运算.
【专题】方程思想;转化思想;平面向量及应用.
【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
14.(5分)(2016秋·海珠区月考)已知θ∈(,2π),且cos(θ﹣)=,则tan(θ+)= .
【考点】两角和与差的正切函数.
【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由已知θ的范围求得的范围,得到sin()的值,再由诱导公式及商的关系求得答案.
【点评】本题考查两角和与差的正切,考查诱导公式的应用,是基础的计算题.
15.(5分)(2016秋·海珠区月考)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别是B1,B2,点C是B1F2的中点,若·=2,且CF1⊥B1F2,则椭圆的方程为 .
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】方程思想;转化思想;平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由已知可得F1,F2,B1,B2四点的坐标,利用中点坐标公式可得C.由·=2,且CF1⊥B1F2,利用数量积运算性质即可得出.
【解答】解:F1(﹣c,0),F2(c,0),B1(0,b),B2(0,﹣b),C.
联立解得:a=2,b2=3,c=1.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、中点坐标公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
16.(5分)(2016秋·海珠区月考)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,所有棱长都相等,若该三棱柱的顶点都在球O的表面上,且三棱柱的体积为,则球O的表面积为 7π .
【考点】球的体积和表面积.
【专题】综合题;方程思想;综合法;立体几何.
【分析】通过球的内接体,说明几何体的中心是球的直径,设出三棱柱的底面边长,由棱柱的体积公式得到三棱柱的底面边长,可得球的半径,由球的表面积求出球的表面积.
【解答】解:如图,
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等,6个顶点都在球O的球面上,
∴三棱柱为正三棱柱,且其中心为球的球心,设为O,
设三棱柱的底面边长为a,则
设球的半径为r,上底面所在圆的半径为a=1,且球心O到上底面中心H的距离OH==,
∴球O的表面积为4πr2=7π
故答案为:7π
【点评】本题考查球的内接体与球的关系,球的半径的求解,考查计算能力,是中档题.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)(2016秋·雅安校级月考)在公差不为零的等差数列{an}中,a1=2,且a1,a2,a4成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
【考点】数列的求和.
【专题】转化思想;综合法;等差数列与等比数列.
【分析】(Ⅰ)由等比数列等比中项可知:(a1+d)2=a1·(a1+3d),即可求得d的值,根据等差通项公式即可求得数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)===(﹣),利用“裂项法”即可求得数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d(d≠0),…(1分)
由题意知(a1+d)2=a1·(a1+3d),…(2分)
即(2+d)2=2·(2+3d),即d(d﹣2)=0,
又d≠0,
∴d=2.…(3分)
an=2+(n﹣1)×2=2n,
故数列{an}的通项公式an=2n. …(5分)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn,…(8分)
【点评】本题考查等差数列通项公式,等比数列等比中项的性质,“裂项法”求数列的前n项和,考查计算能力,属于中档题.
18.(12分)(2016秋·海珠区月考)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD的中点.
(Ⅰ)求证:直线AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求三棱锥P﹣BEF的体积.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
【专题】计算题;数形结合;转化思想;空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)作FM∥CD交PC于M,连接ME.证明AF∥EM,然后证明直线AF∥平面PEC.
(Ⅱ)连接ED,证明AB⊥平面PEF.求出三角形PEF的面积,利用VP﹣BEF=VB﹣PEF求解即可.
【解答】(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)证明:作FM∥CD交PC于M,连接ME. …(1分)
又,∴,∴四边形AEMF为平行四边形,∴AF∥EM,…(2分)
∵AF?平面PEC,EM?平面PEC,…(3分)
∴直线AF∥平面PEC. …(4分)
(Ⅱ)连接ED,在△ADE中,AD=1,,∠DAE=60°,
∴ED2=AD2+AE2﹣2AD×AE×cos60°=,∴,
∴AE2+ED2=AD2,∴ED⊥AB. …(5分)
PD⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,∴PD⊥AB,…(6分)
PD∩ED=D,PD?平面PEF,ED?平面PEF,…(7分)
∴AB⊥平面PEF. …(8分)
∴三棱锥P﹣BEF的体积:VP﹣BEF=VB﹣PEF…(10分)
【点评】本题考查空间几何体的体积,直线与平面平行的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.
19.(12分)(2016秋·海珠区月考)某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售一件该商品可获利润60元,若供大于求,剩余商品全部退回,但每件商品亏损10元;若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商品可获利40元.
(Ⅰ)若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:件,n∈N)的函数解析式;
(Ⅱ)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位:件,n∈N),整理得如表:
日需求量 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | 4 | 8 | 10 | 14 | 9 | 5 |
若商店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间[500,650]内的概率.
【考点】概率的应用.
【专题】综合题;函数思想;综合法;概率与统计.
【分析】(Ⅰ)分类求出函数解析式,即可得出利润y关于需求量n的函数解析式;
(Ⅱ)若利润在区间[500,650]内,日需求量为9、10、11,其对应的频数分别为10、14、9,即可求出概率.
【解答】解:(Ⅰ)当日需求量n≥100时,
利润为y=60×10+(n﹣10)×40=40n+200; …(2分)
当日需求量n<10时,利润为y=60n﹣(10﹣n)×70=70n﹣100.…(4分)
(Ⅱ)50天内有4天获得的利润为390元,有8天获得的利润为460元,有10天获得的利润为530元,有14天获得的利润为600元,有9天获得的利润为640元,有5天获得的利润为680元.…(9分)
若利润在区间[500,650]内,日需求量为9、10、11,其对应的频数分别为10、14、9.…(10分)
【点评】本题考查分段函数,考查概率的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
20.(12分)(2016秋·海珠区月考)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且到原点的距离为2.
(Ⅰ)求抛物线E的方程;
(Ⅱ)已知点G(﹣1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程.
【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
(Ⅱ)证明kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线G A,GB的距离相等,即可证明结论.
解得p=2,…(3分)
所以抛物线 E的方程为y2=4x. …(4分)
(II)因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x上,
又G(﹣1,0),
所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,…(10分)
这表明点F到直线G A,G B的距离相等,…(11分)
故以F为圆心且与直线G A相切的圆必与直线G B相切. …(12分)
【点评】本题考查抛物线的方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查直线与圆的位置关系,属于中档题.
21.(12分)(2016秋·海珠区月考)已知函数f(x)=xlnx﹣x2﹣x+a(a∈R))在其定义域内有两个不同的极值点.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)设两个极值点分别为x1,x2,证明:x1·x2>e2.
【考点】利用导数研究函数的极值.
【专题】函数思想;综合法;导数的综合应用.
【分析】(Ⅰ)由导数与极值的关系知可转化为方程f′(x)=lnx﹣ax=0在(0,+∞)有两个不同根;再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,或转化为函数g(x)=与函数y=a的图象在(0,+∞)上有两个不同交点;或转化为g(x)=lnx﹣ax有两个不同零点,从而讨论求解;
(Ⅱ)问题等价于ln>,令,则t>1,,设,根据函数的单调性证出结论即可.
【解答】解:(Ⅰ)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
方程f′(x)=0在(0,+∞)有两个不同根;
即方程lnx﹣ax=0在(0,+∞)有两个不同根;
(解法一)转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,
如右图.
可见,若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k,只须0<a<k.
令切点A(x0,lnx0),
解得,x0=e,
(解法二)转化为函数g(x)=与函数y=a的图象在(0,+∞)上有两个不同交点.
即0<x<e时,g′(x)>0,x>e时,g′(x)<0,
故g(x)在(0,e)上单调增,在(e,+∞)上单调减.
又g(x)有且只有一个零点是1,且在x→0时,g(x)→﹣∞,在在x→+∞时,g(x)→0,
故g(x)的草图如右图,
可见,要想函数g(x)=与函数y=a的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,
(解法三)令g(x)=lnx﹣ax,从而转化为函数g(x)有两个不同零点,
若a≤0,可见g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)单调增,
此时g(x)不可能有两个不同零点.
若a>0,在0<x<时,g′(x)>0,在x>时,g′(x)<0,
所以g(x)在(0,)上单调增,在(,+∞)上单调减,从而g(x)极大=g()=ln﹣1,
又因为在x→0时,g(x)→﹣∞,在在x→+∞时,g(x)→﹣∞,
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知x1,x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根,
即lnx1=ax1,lnx2=ax2,
∴函数g(t)在(1,+∞)上单调递增,
∴g(t)>g(1)=0,
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论,转化思想,数形结合的思想方法的应用,属于综合题.
[选修4-1:几何证明选讲]
22.(10分)(2016·河南模拟)如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,△ACD的外接圆交BC于点E,AB=2AC.
(Ⅰ)求证:BE=2AD;
(Ⅱ)当AC=1,EC=2时,求AD的长.
【考点】圆內接多边形的性质与判定.
【专题】推理和证明.
【分析】(Ⅰ)利用圆的内接四边形得到三角形相似,进一步得到线段成比例,最后求出结果.
(Ⅱ)利用上步的结论和割线定理求出结果.
【解答】证明:(Ⅰ)连接DE,
由于四边形DECA是圆的内接四边形,
所以:∠BDE=∠BCA
∠B是公共角,
则:△BDE∽△BCA.
又:AB=2AC
所以:BE=2DE,
CD是∠ACB的平分线,
所以:AD=DE,
则:BE=2AD.
(Ⅱ)由于AC=1,
所以:AB=2AC=2.
利用割线定理得:BD·AB=BE·BC,
由于:BE=2AD,设AD=t,
则:2(2﹣t)=(2+2t)·2t
【点评】本题考查的知识要点:三角形相似的判定的应用,圆周角的性质的应用,割线定理得应用,主要考查学生的应用能力.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.(2013·郑州一模)已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin(θ+)=2.
(Ⅰ)求曲线C在极坐标系中的方程;
(Ⅱ)求直线l被曲线C截得的弦长.
【考点】简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系.
【专题】直线与圆.
【分析】(1)把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ,化为普通方程,再根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,化为极坐标方程.
(2)把直线和圆的直角坐标方程联立方程组,求得交点的坐标,再利用两点间的距离公式求得弦长.
【解答】解:(1)把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ,化为普通方程为(x﹣2)2+y2=4,
再化为极坐标方程是 ρ=4cosθ.﹣﹣﹣﹣(5分)
(2)∵直线l的直角坐标方程为 x+y﹣4=0,
由 求得 ,或 ,可得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2)(4,0),
【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,求直线和圆的交点坐标,两点间的距离公式的应用,属于基础题.
[选修4-5:不等式选讲]
24.(2016·信阳一模)已知函数f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2
(Ⅰ)解不等式f(x)≥0
(Ⅱ)若存在实数x,使得f(x)≤|x|+a,求实数a的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】(Ⅰ)化简函数的解析式,分类讨论,求得不等式的解集.
(Ⅱ)不等式即|x+|﹣|x|≤+1①,由题意可得,不等式①有解.根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣,],故有+1≥﹣,由此求得a的范围.
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2=,
当x≥0时,由x﹣1≥0,求得 x≥1.
综上可得,不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}.
(Ⅱ)f(x)≤|x|+a,即|x+|﹣|x|≤+1①,由题意可得,不等式①有解.
由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离,故|x+|﹣|x|∈[﹣,],
【点评】本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的能成立问题,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于基础题.
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