第五届数学竞赛初赛试题及答案
(满分100分)
一、计算下面各题,并写出简要的运算过程(12分)
2.1991×199219921992-1992+199119911991
二、填空题(48分)
1.有A、B两组数,每组数都按一定的规律排列着,并且每组都各有25个数。A组数中前几个是这样排列的1,6,11,16,21……;B组数中最后几个是这样排列的……,105,110,115,120,125。那么,A、B这两组数中所有数的和是__(3分)
2.某沿海城市管辖7个县,这7个县的位置如图1。现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给图1染色,要求任意相邻的两个县染不同颜色。共有__种不同的染色方法。(5分)
3.如图2的数阵是由77个偶数排成的,其中20、22、24、36、38、40这六个数由一个平行四边形围住,它们的和是180。把这个平行四边形沿上下、左右平移后,又围住了右边数阵中的另外六个数,如果这六个数的和是660,那么,它们当中位于平行四边形左上角的那个数是__。(4分)
4.在左边的乘法算式中,我、学、数、乐各代表四个不相同的数字。如果“乐”代表“9”,那么,“我”代表__,“数”代表__,“学”代表__。(4分)
5.1993年一月份有4个星期四、5个星期五,1993年1月4日是星期__。
6.一个小数去掉小数部分后得到一个整数,这个整数加上原来的小数与4的乘积,得27.6。原来这个小数是__。(5分)
7.李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业,三人中有一个当了记者。一次有人问起他们的职业,李志明说:“我是记者。”张斌说:“我不是记者。”王大为说:“李志明说了假话。”如果他们三人的话中只有一句是真的,那么__是记者。(3分)
9.在1992后面补上三个数字,组成一个七位数,使它分别能被2、3、5、11整数,这个七位数最小是__。(5分)
的个位数字1992个“8”是__,十位数字是__,百位数字是__。(3分)
三、解答下面的应用题。(要写出列式解答过程。列式时,可以分步列式,可以列综合算式,也可以列方程。)(32分)
1.张师傅驾驶一辆载重汽车从县城出发到省城送货,到达省城后马上卸货并随即沿原路返回。他驾驶的这辆汽车去时每小时行64千米,返回时每小时行56千米,往返一趟共用去12小时(在省城卸货所用时间略去不计)。张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了多少千米?(5分)
2.一个长方形,如果长减少5厘米,宽减少2厘米,那么面积就减少66平方厘米,这时剩下的部分恰好成为一个正方形。求原来长方形的面积。(5分)
3.有两堆煤,第一堆是第二堆的4倍。当第二堆煤运走6.25吨后,第一堆煤是第二堆煤的6倍。第二堆煤原有多少吨?(5分)
分数是80分。求不及格的人的平均分数。(5分)
5.启蒙书社五天内卖出《中学生手册》和《小学生手册》共120本。《中学生手册》每本5元,《小学生手册》每本3.75元。营业员统计的结果表明:这五天内所卖《中学生手册》的收入比卖《小学生手册》的收入多162.5元。这五天内启蒙书社卖出的《中学生手册》和《小学生手册》各多少本?(6分)
6.如图3,BD是梯形ABCD的一条对角线,线段AE与梯形的一条腰DC平行,AE与BD相交于O点。已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大
四、长方形ABCD的长是4厘米、宽3厘米。从这个长方形中剪去两个长2厘米、宽1厘米的小长方形后得到一个“T”形(如图4)。请你沿直线(用虚线在图上画出这样的直线)把这个“T”形剪两刀,并使剪开的部分恰好能拼成一个正方形。(8分)
详解与说明
一、计算题
说明:本题的算式看上去挺繁,但细心观察不难发现括号内的三个乘(除)式都含有因数“3”,把“3”作为公因数提取后计算就简便多了。《数学之友》(7)第63页上有一道十分类似的计算题。
2.解:1991×199219921992-1992×199119911991
=1991×1992(100010001-100010001)
=1991×1992×0
=0
说明:解本题的关键是迅速观察到被减数和减数含有公因数1991×1992,这个乘积可以暂时保留在式中,看括号内的计算结果是不是便于立即能口算出答案。本题同《数学之友》(7)综合练习十的第2题也很相似。
数列的各项依次对应相加所得到的。看出这一层关系,就容易想到把式中每
”栏目内专门作了介绍。
二、填空题
1.(1+125)×25=3150
说明:首先通过观察容易发现A、B两组数的排列规律。这两组数都排成等差数列,并且每组数都有25个数。用等差数列的求和公式可以算出结果,但必须先推算出A组数的第25个及B组数的第1个。如果选手们能从“两组数个数相等”与“两组数都是公差为5的等差数列”这两个条件入手,用“首尾配对,变加为乘”(见本报1991年9月25日“教你思考”栏)的技巧来解,那么计算简便多了。
2.解:把该沿海城市地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G(如图5)。为了便于观察,可以把图5改画成图6(相邻关系不改变)。我们不妨按A、B、C、D、E、F、G的顺序,用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色,根据乘法原理,共有5×4×3×3×3×3×3=4860(种)不同的染色方法。
说明:“加法原理与乘法原理”是本报223期“奥林匹克学校”栏所介绍的内容,但应用乘法原理来解本题,要谨防遗漏。为了避免遗漏,就应适当选择染色的顺序。或许有的选手会问:既然要讲究染色的顺序。那么“按A、B、C、D、E、F的顺序”前又怎么可以加“不妨”二字呢?对了,我们这里所说的“适当选择染色顺序”,不是说染色方法与染色顺序有关,而是说选择某些染色次序很可能算错。比如说,如果我们选择B、C、G、D、A、E、F的染色顺序,那么,根据乘法原理算得的结果是
5×4×4×3×2×3×3=4320(种)。这当中遗漏了540(种),为什么会遗漏呢?因为在给B、C染色之后,再给G染色时,没有分“G与B同色”、“G与B不同色”两种情况。
举个简单的例子,如图7,如果按④③②①的顺序染色,容易误算为5×4×4×2=160(种),而实际上,应分两种情况:
(1)②与③同色时有5×4×1×3=60(种)染法
(2)②与③不同色时,有5×4×3×2=120(种)染法
共有60+120=180(种)染法,而不是160种。
3.解法一:以平行四边形左上角那个数为标准,其余五个数分别比它大2、4、16、18、20。如果从平行四边形内六个数的和中依次减去2、4、16、18、20,那么剩下的数就是左上角那个数的6倍。根据题意,可求出平移后的平行四边形内左上角那数为[660-(2+4+16+18+20)]÷6=100
解法二:移动前平行四边形内6个数的和是20+22+24+36+28+40=180。移动后,这六个数的和增加到660,增加了660-180=480。由于移动过程中平行四边形内每个数增加得一样多,因而容易求出从“180”到“660”,每个数都增加了(660-180)÷6=80。这样,可知道左上角的数增加到20+80=100。
解法三:通过观察可知,平行四边形内上一行左、中、右三数与下一行
下一行右边的那个数与上一行左边那个数相减,差都是20。这样,求左上角那个数就变成了一个“和差问题”。算式为
(660÷3-20)÷2=100
说明:本题的解法很多,因为题中的数阵隐藏着许多有趣的规律,选择不同的规律,将会得到不同的解法。本题是根据1991年11月5日第一版“教你思考”栏中一题改编而成的。
4.解:由“乐”代表9,可推到“学”代表1,“数”代表6;由积是一个十位数,并且前两位数都是6,可推知“我”代表8。
说明:本题是把1992年5月25日第四版上谈祥柏先生写的“六一专稿”里一题变了一下形式。要推知“乐”、“学”、“数”各代表什么数字,只要运用所学的“自然数平方尾数性质”及进位的知识,就会立即得到结果。再推“我”代表几就稍难些。
需要用估值法:
因为800002<6661661161<900002
所以8≤我≤9显然,“我”只能是8。
5.解:画一个日历表,从表中马上看出:
1993年1月4日星期一。
说明:根据“有五个星期五”,可知从第一个星期五到第五个星期五之间共有29天。31-29=2(天),这多余的2天是在第一个星期五前,还是在第五个星期五之后呢?如果在第一个星期五之前,那就多一个星期四,这与题中条件不符。所以应把多余的2天排在月末。这种借助日历表推算的方法,本报1992年3月25日第一版“小读者园地”栏目中介绍过。
7.解:张斌是记者。
说明:这是根据本报1992年3月15日“奥林匹克学校”栏推理问题例1改编而成的。具体推理过程是――
假设李志明是记者,那么李志明、张斌都说了真话,而三人中只有一人说真话。这说明假设不正确,李志明不是记者(李志明说了假话)。也就是说,王大为说了真话。另一个说假话的是张斌。从而推知:张斌是记者。
也就是5X<76<5Y
又因为X、Y是两个连续自然数
所以,必有X=15,Y=16
解法二:根据分数的基本性质
由“X、Y是连续自然数”推知X=15,Y=16。
说明:仅从题中的不等式不容易判断X、Y的取值范围,这就想到了通分;要通分,就要运用“分数的基本性质”。有了X、Y的取值范围,再附加“X、Y是连续自然数”这个条件的限制,X、Y的值也就不难判断了。本报207期第三版上曾登过类似的题。
因为2|A,5|A,所以,c=0;
因为3|A,所以3|(a+b);
因为11|A,所以a-b=1
考虑到所组成的七位数应该最小,因而取a+b=3。这就推出:a=2,b=1。即要求的最小的七位数是1992210。
说明:解答本题需要熟悉能被2、5、3、11整除的数的特征,再把根据这些特征推出的结果综合在一起,加上“最小”这一条件,就可以确保答案是唯一的。这道题比本报第226期“赛前训练”的第3题还要略简单些。
222222=2×111111=2×111×1001
而1001=7×11×13
所以222222能被13整除。
因为1998=6×333,22÷13=1……9
所以,要求的余数是9。
说明:读者容易联想到:本报第240期“小读者园地”栏目介绍了“1001”的两条性质,因为222222=2×111111。运用“111111=111×1001”与“1001=7×11×13”这两个等式,可把题目转化为“求22÷13的余数是几”。有些选手分别计算2、22、222、2222,……被13除所得的余数,再从中找出周期性规律,也同样能求得余数是9,但这样做太麻烦,又费时,不可取。
11.解:8×1992=15936(个“1”)8×1991=15928(个“10”)8×1990
=15920(个“100”)
从上面竖式中看出:所求个位数字是6,十位数字是1,百位数字是2。
说明:解答本题并不难,只要注意计数单位和进位制,再做简单的乘法、加法运算就可以了。详见本报第192期“教你思考”栏谢悠南文。
12.解:本题答案不唯一,下面列出几种:
说明:解本题有两种思路――
母(如12)的任意两个约数(如3、4),然后把它们的和分别同这两个约
当我们把一个单位分数分解成两个单位分数后,又可以继续采用上面的方法,把其中某一个单位分数再一分为二。这样,只要重复分解,可以把一个单位分数分解成若干个单位分数之和。
三、应用题
张师傅往返全程,共用了12小时。于是,省城和县城之间的路程是
张师傅往返一趟共行了358.4×2=716.8(千米)
解法二:设县城与省城之间的路程为X千米。根据题意,列方程
2X=358.4×2=716.8(千米)
答:张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了716.8千米。
说明:本题的解法不止这两种,比如,还可以根据张师傅往、返的速度之间的关系,把往返一趟所用的时间分成“往”、“返”两部分,当同学们下学期学过正、反比例之后,会自然而然地想到这一点。不过,还是解法一比较简便,这种解法本报第187期《巧用“包含除”》一文中专门介绍过。
2.解法一:画出图来,不难列出这样的算式(66-2×5)÷(5+2)=8(厘米),长方形面积为8×8+66=130(平方厘米)
解法二:设正方形边长为X厘米,根据题意可列方程(5+2)×X2=66-2×5
解方程,得X=8
S长方形=8×8+66=130(平方厘米)
说明:解答本题,只要画一个草图,就不难找到题中的等量关系。然后用算术方法或代数方法解都很简单。本报第213期第3版有一道类似的题。
解法二:6.25×4÷(6-4)+6.25
=18.75(吨)
答:第二堆煤原有18.75吨。
说明:如果顺着题中的条件去想,那就不容易找到解题的思路,因为题中的“标准量”――第2堆煤的数量在变,4倍与6倍也就联系不上。其实,只要反过来一想,把第一堆煤作为标准量,数量关系就明朗化了。解法一的思路正是这样。
还可以这样想:如果从第一堆煤中运走“6.25×4”吨,那么第一堆煤就是现在第二堆煤数量的4倍;如果一点都不运走的话,那么第一堆煤就是现在第二堆煤的6倍,从而,可求出现在第二堆还有6.25×4÷(6-4)=12.5(吨),再加上6.25吨,就是第二堆煤原来的吨数。这就是解法二的算理。本题是根据本报第197期《反过来想想》一文中第二题改编的。
4.解法一:(70×4-80×3)÷(4-3)=40
或(70×4K-80×3K)÷(4K-3K)=40
(K为自然数)
解法二:设不及格的人平均成绩为X分。
根据题意列方程
解方程,得X=40
答:不及格的人的平均分数为40分。
说明:本题是本报第238期“趣题巧解”中的原题,解题思路详见报纸第241期《为什么可以设全班人数为4呢》一文。
5.解法一:(等量假设法)假设所卖出的《中学生手册》和《小学生手册》的本数同样多,也就是各为60本,那么,所卖的《中学生手册》比小学生手册》就要多收入(5-3.75)×60=75(元),而实际多收入162.5元,相差162.5-75=87.5(元)。这就可以求出少算的《中学生手册》的本数为(162.5-75)÷(5+3.75)=10(本)
60+10=70(本)……《中学生手册》的本数
60-10=50(本)……《小学生手册》的本数
解法二:(同一假设法)假设所卖出的120本全是《中学生手册》,那么,仿照解法一就可以先求出《小学生手册》的本数
(5×120-162.5)÷(5+3.75)=50(本)
120-50=70(本)……《中学生手册》的本数
解法三:(列方程解)设《中学生手册》有X本,根据题意,列方程5X-(120-X)×3.75=162.5
解得 X=70
120-X=50(本)
答:这五天内共卖出《中学生手册》70本,《小学生手册》50本。
说明:就这道题的“条件”和“问题”来看,挺有些像“鸡兔同笼问题”。解这类题常用的方法有算术(假设)和列方程两种方法,这是选手们已经掌握的(见本报216期《插上想象的翅膀》一文)。在解法一和解法二中,实际的“多收入”与假设后的“多收入”之间有个“差”,这个差是怎么来的,不是由于每卖1本《中》比卖1本《小》要多收入“5-3.75”元,而是因为如果有一本《中》被假设(换)成《小》,那么《中》比《小》多收入的部分就减少了“5+3.75”元。这一点千万不能搞错。
6.解:因为S△BOE-S△AOD=4平万米
所以S△ABE-S△ABD=4平万米
因为△ABE与△ABD对应于BE、AD边上的高相等,所以△ABD的面积
答:梯形面积是28平方米。
说明:解答本题的关键是进行两次转化:(1)转化面积差:把已知条件“△BOE的面积比△AOD的面积大4平方米”,转化为“△ABF的面积比△ABD的面积大4平方米”;(2)转化数量关系:把
是高相等)。具体算法还很多,但基本思路都是转化。本报第220期第一版有两篇文章中介绍过类似的转化技巧。
四、解:剪拼方法不唯一,这里给出两种(如图9,图10):
说明:这是一道动手操作的“实验”题。不过,在动手之前,先得算一算、想一想,也就是我们常说的“手脑并用”。剪之前,可以这样想:“T”形图的面积为
4×3-2×1×2=8(平方厘米)
这就是说,我们要拼成的正方形的面积应该是8平方厘米。这个正方形的边长是多少呢?这可难了。如果我们假设这个正方形已经拼成,那么,把它的两条对角线连起来后,这个正方形就被分成了4个等腰直角三角形,其中的两个可以拼成一个面积为4(边长为2)的正方形(如图11)。从图中看出所拼成的正方形的边长应该是面积为4平方厘米的正方形的对角线的长(图11中的AB)。根据以上推算,容易想到图9、图10的两种剪拼方法。
所以,同学们今后碰到类似的动手操作题,应当先想想、算算,千万不能无把握地下手。不然的话,费了时间,还找不到正确解法。其实,选手们应当从本报第214期第四版《等积变形》一文中受到启发。
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