约数与倍数问题分析解答8

　　已知x、y为正整数，且满足xy-( x+y )=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对(x，y ) (x≥y )

　　考点：约数与倍数.

　　分析：此题需分类讨论，①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数).解方程k(y-2)=3;②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答：解：①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数).

　　则由原方程，得

　　ky·y-(ky+y)=2y+ky，

　　∵y≠0，

　　∴ky-(k+1)=2+k，

　　∴k(y-2)=3，

　　当k=1时，x=5，y=5;

　　当k=3时，x=9，y=3;

 

 
     ②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp，代入原式
     得：abp²-（ap+bp）=2p+abp，即abp-1=（a-1）（b+1）

     当p=1时，a+b=2，可求得a=1，b=1，此时不满足条件；
     当p＞1时，abp≥2ab-1=ab+（ab-1）≥ab＞（a-1）（b-1）
     此时，abp-1=（a-1）（b+1）不满足条件；
     综上所述，满足条件的数对有

     点评：本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数．