知识要点和基本方法：
有一类数学问题，是讨论某种量在一定条件下，取最大值或最小值的问题。这类题往往使人无从下手。但只要我们能发现并掌握了其中的规律和窍门，便可迎刃而解。
例题精讲 ：
例1 两个整数的和是10，问这两个整数各是多少时，它们的乘积最大？
分析：两个整数的和是10，将10拆分两个数的和的情况共有5种，即1+9、2+8、3+7、4+6、5+5，他们的积分别是：1×9 =9、2×8 = 16、3×7 = 21、4×6 = 24、5×5 =25。从上面的5个积不难看出，两个数越接近，它们的积越大，当这两个数相等时，它们的积最大。
解：5×5 =25
答：这两个数都是5时，它们的乘积最大。
例2 把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？
分析：假设分成的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1×a＜1+a，所以分成的自然数中不应该有1。
如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。
如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=2×2，所以可以将4分成两个2。
由上面的分析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分成的自然数中最多有两个2，其余都是3。由此得到，将17分为五个3与一个2时乘积最大，为3×3×3×3×3×2＝486。
解：17＝3＋3＋3＋3＋3＋2
3×3×3×3×3×2＝486
结论：把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2最多不超过两个。
例3 210名少先队员选举大队长，有3位候选人小红、小明和小刚，每人能选他们中的一个，但不能弃权，前190张选票中，小红得到75张，小明得到65张，小刚得到50张，规定谁得的票最多谁就当选。若小红要当选，最少还需要多少张票？
分析：由已知条件可知，还剩下210－190 = 20张选票。如果这20张选票都选小刚，那么小刚的得票数一共为50＋20 =70张，这样也比小红的票数少，所以不管怎么选，小刚是不可能当选的。因此我们只要分析小红和小明之间的票数就可以了。
小红所得的票数比小明多（75－65 = 10）张，所以小刚只要再得10张选票就可以和小红一样多了，这时还剩下（20－10 =10）张选票，我们再分析一下最后这10张选票就可以了。
最后这10张选票，如果小红和小明每人5张，那么两人的选票还是一样多，都是80张，小红仍不能当选。
如果剩下的10张选票中，小红得6张，小明得4张，那么小红的得票数是75＋6 = 81张，小明的得票数是75＋4 =79张，小红当选为大队长。因此，小红最少还需要6张选票。
解：210－190＝20（张） 75－65＝10（张）
20－10＝10（张） 10÷2＝5（张） 5＋1＝6（张）
答：小红最少还需要6张选票。
同步练习：
1、两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？
2、用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？
3、把19分拆成几个自然数的和，这几个自然数的连乘积最大是多少？
4、有一个93人的旅游团，其中有男士47人，女士46人，他们住进一个旅馆内，旅馆内有可住11人、7人、4人的大、中、小三种房间，要求男女不能同住在一个房间内，每个房间内不能有空床位，至少需要多少个房间？
5、用2到7这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。求这两个三位数。
6、有长方形和正方形三块地，它们的周长都是100米，它们的一条边分别是30米，28米和25米。问这三块地中哪块地的面积最大？最大面积是多少？
7、某校有少先队员900名，现要选出一名代表参加少代会，有小方 、明明、红红三名候选人，每人只能选他们中的一个人，不能弃权。前800张票中，小方得了336票，明明得300票，红红得164票。小方要当选，剩下的票中他至少要得多少张？
8、一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多试多少次才能配好全部的钥匙？
拓展提高：
1、在一次环保知识抢答比赛中，有3分题，5分题，8分题3种，李海同学在2分钟内得到29分，他最多答对多少题？最少答对多少题？
2、幼儿园老师把100根小棒分给小朋友做数学游戏，每个小朋友分的根数不同。那么最多能分给几个小朋友？
3、把自然数1，2，3，……，19依次排列，1234567891011…19，划去24个数字后得到一个多位数，这个数最大是多少？
4、在一台天平上要想称出1～40克中的任何一种重量，如果允许砝码放在天平的两边，最少需要哪几个不同重量的砝码？
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