知识要点和基本方法:
有一类数学问题,是讨论某种量在一定条件下,取最大值或最小值的问题。这类题往往使人无从下手。但只要我们能发现并掌握了其中的规律和窍门,便可迎刃而解。
例题精讲 :
例1 两个整数的和是10,问这两个整数各是多少时,它们的乘积最大?
分析:两个整数的和是10,将10拆分两个数的和的情况共有5种,即1+9、2+8、3+7、4+6、5+5,他们的积分别是:1×9 =9、2×8 = 16、3×7 = 21、4×6 = 24、5×5 =25。从上面的5个积不难看出,两个数越接近,它们的积越大,当这两个数相等时,它们的积最大。
解:5×5 =25
答:这两个数都是5时,它们的乘积最大。
例2 把17分成几个自然数的和,怎样分才能使它们的乘积最大?
分析:假设分成的自然数中有1,a是分成的另一个自然数,因为1×a<1+a,所以分成的自然数中不应该有1。
如果分成的自然数中有大于4的数,那么将这个数分成两个最接近的整数,这两个数的乘积大于原来的自然数。例如,5=2+3<2×3,8=3+5<3×5。也就是说,只要有大于4的数,这个数就可以再分,所以分成的自然数中不应该有大于4的数。
如果分成的自然数中有4,因为4=2+2=2×2,所以可以将4分成两个2。
由上面的分析得到,分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6,2×2×2=8,3+3=6,3×3=9,说明虽然三个2与两个3的和都是6,但两个3的乘积大于三个2的乘积,所以分成的自然数中最多有两个2,其余都是3。由此得到,将17分为五个3与一个2时乘积最大,为3×3×3×3×3×2=486。
解:17=3+3+3+3+3+2
3×3×3×3×3×2=486
结论:把一个数拆分成若干个自然数之和,如果要使这若干个自然数的乘积最大,那么这些自然数应全是2或3,且2最多不超过两个。
例3 210名少先队员选举大队长,有3位候选人小红、小明和小刚,每人能选他们中的一个,但不能弃权,前190张选票中,小红得到75张,小明得到65张,小刚得到50张,规定谁得的票最多谁就当选。若小红要当选,最少还需要多少张票?
分析:由已知条件可知,还剩下210-190 = 20张选票。如果这20张选票都选小刚,那么小刚的得票数一共为50+20 =70张,这样也比小红的票数少,所以不管怎么选,小刚是不可能当选的。因此我们只要分析小红和小明之间的票数就可以了。
小红所得的票数比小明多(75-65 = 10)张,所以小刚只要再得10张选票就可以和小红一样多了,这时还剩下(20-10 =10)张选票,我们再分析一下最后这10张选票就可以了。
最后这10张选票,如果小红和小明每人5张,那么两人的选票还是一样多,都是80张,小红仍不能当选。
如果剩下的10张选票中,小红得6张,小明得4张,那么小红的得票数是75+6 = 81张,小明的得票数是75+4 =79张,小红当选为大队长。因此,小红最少还需要6张选票。
解:210-190=20(张) 75-65=10(张)
20-10=10(张) 10÷2=5(张) 5+1=6(张)
答:小红最少还需要6张选票。
同步练习:
1、两个自然数的积是48,这两个自然数是什么值时,它们的和最小?
2、用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园,围成菜园的最大面积是多少?
3、把19分拆成几个自然数的和,这几个自然数的连乘积最大是多少?
4、有一个93人的旅游团,其中有男士47人,女士46人,他们住进一个旅馆内,旅馆内有可住11人、7人、4人的大、中、小三种房间,要求男女不能同住在一个房间内,每个房间内不能有空床位,至少需要多少个房间?
5、用2到7这六个数字分别组成两个三位数,使这两个三位数的乘积最大。求这两个三位数。
6、有长方形和正方形三块地,它们的周长都是100米,它们的一条边分别是30米,28米和25米。问这三块地中哪块地的面积最大?最大面积是多少?
7、某校有少先队员900名,现要选出一名代表参加少代会,有小方 、明明、红红三名候选人,每人只能选他们中的一个人,不能弃权。前800张票中,小方得了336票,明明得300票,红红得164票。小方要当选,剩下的票中他至少要得多少张?
8、一把钥匙只能开一把锁,现在有4把钥匙4把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁,最多试多少次才能配好全部的钥匙?
拓展提高:
1、在一次环保知识抢答比赛中,有3分题,5分题,8分题3种,李海同学在2分钟内得到29分,他最多答对多少题?最少答对多少题?
2、幼儿园老师把100根小棒分给小朋友做数学游戏,每个小朋友分的根数不同。那么最多能分给几个小朋友?
3、把自然数1,2,3,……,19依次排列,1234567891011…19,划去24个数字后得到一个多位数,这个数最大是多少?
4、在一台天平上要想称出1~40克中的任何一种重量,如果允许砝码放在天平的两边,最少需要哪几个不同重量的砝码?
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