等比数列前n项和公式怎么证明

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文 |杨春波

怎么证明？你想这还不简单！错位相减嘛！是的，这即是教材上提供的证法：

下面分情况讨论：

这种求和的方法很经典，不仅对等比数列有效，而且对等差比数列（指一个等差数列和一个等比数列对应项相乘而得的数列，等差数列和等比数列均是其特殊情形）也有效，因此人们就给它起了个名字——错位相减法，这是一种常用的数列求和方法。

错位相减，构思巧妙，应用有效，这或许是教材选用该方法的原因吧！

经典的方法，知道了就要好好领悟，多加练习，慢慢地将其内化为自己的方法；但同时也有另外一些方法，等着我们去发现去探索，即使它们不是那么的方便，或许还略显笨拙。

下面提供等比数列前n项和公式的另外几种证法，希望读者慢慢体悟。（以下只是粗略地给出其思路，而且只讨论q≠1的情形，可能有些细节未能注意到）

  另证一  

  另证二  

  另证三 

  另证四 

  另证五  

  另证六  

   总结   

以上六种证法，各有所长：错位相减法从项数的角度出发，乘以公比，顺利消去大量公共项。

另证四、五则本着从特殊到一般的原则，从简单情形入手，涉及到了联想、类比、猜想等多种思维方式，更具教学价值；另证六则从一个司空见惯的恒等式入手，变幻出前n项和公式，令人拍案叫绝。