傅里叶是法国科学家，生于1768年，因为其的 任何一个周期函数都可以通过正弦函数组合而来 理论而出名。当时的研究背景是热扩散处理，人们考虑用微分方程的公式表示热运动，用这种方法第一次得到了结论。
傅里叶变换把空间域和频域联系起来，一个空间域的序列可以通过其变换得到对应的频域的序列。而通过反变换亦能得到原始的序列。
卷积定理的意义：图像增强分为频域和空间域两类。对于空间滤波来讲，对整个图像进行处理的时候，对每个点（x，y）依次使用移动掩膜（可以理解为邻近点的组合函数），得到对应于该店的响应值以替换原来的像素值，从而达到增强的效果。数学形式为
其中m为序列位置坐标，n为移动掩膜f坐标标志。
（以下转自wiki）
卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。
其中表示f 的傅里叶变换。右边的乘法即对应元素的乘积。
通过此种变换，可以看到图像增强时两种方法是等价的，而且频域变换时间复杂度更低。
利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n - 1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。
数据压缩
由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号。
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