引言
主成分分析（PCA）是一种能够极大提升无监督特征学习速度的数据降维算法。更重要的是，理解PCA算法，对实现白化算法有很大的帮助，很多算法都先用白化算法作预处理步骤。
假设你使用图像来训练算法，因为图像中相邻的像素高度相关，输入数据是有一定冗余的。具体来说，假如我们正在训练的16x16灰度值图像，记为一个256维向量
，其中特征值
对应每个像素的亮度值。由于相邻像素间的相关性，PCA算法可以将输入向量转换为一个维数低很多的近似向量，而且误差非常小。
实例和数学背景
在我们的实例中，使用的输入数据集表示为
，维度
即
。假设我们想把数据从2维降到1维。（在实际应用中，我们也许需要把数据从256维降到50维；在这里使用低维数据，主要是为了更好地可视化算法的行为）。下图是我们的数据集：
这些数据已经进行了预处理，使得每个特征
和
具有相同的均值（零）和方差。
为方便展示，根据
值的大小，我们将每个点分别涂上了三种颜色之一，但该颜色并不用于算法而仅用于图解。
PCA算法将寻找一个低维空间来投影我们的数据。从下图中可以看出，
是数据变化的主方向，而
是次方向。
也就是说，数据在
方向上的变化要比在
方向上大。为更形式化地找出方向
和
，我们首先计算出矩阵
，如下所示：
假设
的均值为零，那么
就是x的协方差矩阵。（符号
，读"Sigma"，是协方差矩阵的标准符号。虽然看起来与求和符号
比较像，但它们其实是两个不同的概念。）
可以证明，数据变化的主方向
就是协方差矩阵
的主特征向量，而
是次特征向量。
注：如果你对如何得到这个结果的具体数学推导过程感兴趣，可以参看CS229（机器学习）PCA部分的课件（链接在本页底部）。但如果仅仅是想跟上本课，可以不必如此。
你可以通过标准的数值线性代数运算软件求得特征向量（见实现说明）.我们先计算出协方差矩阵
的特征向量，按列排放，而组成矩阵
：
此处，
是主特征向量（对应最大的特征值），
是次特征向量。以此类推，另记
为相应的特征值。
在本例中，向量
和
构成了一个新基，可以用来表示数据。令
为训练样本，那么
就是样本点
在维度
上的投影的长度（幅值）。同样的，
是
投影到
维度上的幅值。
旋转数据
至此，我们可以把
用
基表达为：
（下标“rot”来源于单词“rotation”，意指这是原数据经过旋转（也可以说成映射）后得到的结果）
对数据集中的每个样本
分别进行旋转：
for every
，然后把变换后的数据
显示在坐标图上，可得：
这就是把训练数据集旋转到
，
基后的结果。一般而言，运算
表示旋转到基
,
, ...,
之上的训练数据。矩阵
有正交性，即满足
，所以若想将旋转后的向量
还原为原始数据
，将其左乘矩阵
即可：
, 验算一下：
.
数据降维
数据的主方向就是旋转数据的第一维
。因此，若想把这数据降到一维，可令：
更一般的，假如想把数据
降到
维表示
（令
）,只需选取
的前
个成分，分别对应前
个数据变化的主方向。
PCA的另外一种解释是：
是一个
维向量，其中前几个成分可能比较大（例如，上例中大部分样本第一个成分
的取值相对较大），而后面成分可能会比较小（例如，上例中大部分样本的
较小）。
PCA算法做的其实就是丢弃
中后面（取值较小）的成分，就是将这些成分的值近似为零。具体的说，设
是
的近似表示，那么将
除了前
个成分外，其余全赋值为零，就得到：
在本例中，可得
的点图如下（取
）：
然而，由于上面
的后
项均为零，没必要把这些零项保留下来。所以，我们仅用前
个（非零）成分来定义
维向量
。
这也解释了我们为什么会以
为基来表示数据：要决定保留哪些成分变得很简单，只需取前
个成分即可。这时也可以说，我们“保留了前
个PCA（主）成分”。
还原近似数据
现在，我们得到了原始数据
的低维“压缩”表征量
， 反过来，如果给定
，我们应如何还原原始数据
呢？查看
以往章节以往章节可知，要转换回来，只需
即可。进一步，我们把
看作将
的最后
个元素被置0所得的近似表示，因此如果给定
，可以通过在其末尾添加
个0来得到对
的近似，最后，左乘
便可近似还原出原数据
。具体来说，计算如下：
上面的等式基于先前对
的定义。在实现时，我们实际上并不先给
填0然后再左乘
，因为这意味着大量的乘0运算。我们可用
来与
的前
列相乘，即上式中最右项，来达到同样的目的。将该算法应用于本例中的数据集，可得如下关于重构数据
的点图：
由图可见，我们得到的是对原始数据集的一维近似重构。
在训练自动编码器或其它无监督特征学习算法时，算法运行时间将依赖于输入数据的维数。若用
取代
作为输入数据，那么算法就可使用低维数据进行训练，运行速度将显著加快。对于很多数据集来说，低维表征量
是原数据集的极佳近似，因此在这些场合使用PCA是很合适的，它引入的近似误差的很小，却可显著地提高你算法的运行速度。
选择主成分个数
我们该如何选择
，即保留多少个PCA主成分？在上面这个简单的二维实验中，保留第一个成分看起来是自然的选择。对于高维数据来说，做这个决定就没那么简单：如果
过大，数据压缩率不高，在极限情况
时，等于是在使用原始数据（只是旋转投射到了不同的基）；相反地，如果
过小，那数据的近似误差太太。
决定
值时，我们通常会考虑不同
值可保留的方差百分比。具体来说，如果
，那么我们得到的是对数据的完美近似，也就是保留了100%的方差，即原始数据的所有变化都被保留下来；相反，如果
，那等于是使用零向量来逼近输入数据，也就是只有0%的方差被保留下来。
一般而言，设
表示
的特征值（按由大到小顺序排列），使得
为对应于特征向量
的特征值。那么如果我们保留前
个成分，则保留的方差百分比可计算为：
在上面简单的二维实验中，
，
。因此，如果保留
个主成分，等于我们保留了
，即91.3%的方差。
对保留方差的百分比进行更正式的定义已超出了本教程的范围，但很容易证明，
。因此，如果
，则说明
也就基本上接近于0，所以用0来近似它并不会产生多大损失。这也解释了为什么要保留前面的主成分（对应的
值较大）而不是末尾的那些。 这些前面的主成分
变化性更大，取值也更大，如果将其设为0势必引入较大的近似误差。
以处理图像数据为例，一个惯常的经验法则是选择
以保留99%的方差，换句话说，我们选取满足以下条件的最小
值：
对其它应用，如不介意引入稍大的误差，有时也保留90-98%的方差范围。若向他人介绍PCA算法详情，告诉他们你选择的
保留了95%的方差，比告诉他们你保留了前120个（或任意某个数字）主成分更好理解。
对图像数据应用PCA算法
为使PCA算法能有效工作，通常我们希望所有的特征
都有相似的取值范围（并且均值接近于0）。如果你曾在其它应用中使用过PCA算法，你可能知道有必要单独对每个特征做预处理，即通过估算每个特征
的均值和方差，而后将其取值范围规整化为零均值和单位方差。但是，对于大部分图像类型，我们却不需要进行这样的预处理。假定我们将在自然图像上训练算法，此时特征
代表的是像素
的值。所谓“自然图像”，不严格的说，是指人或动物在他们一生中所见的那种图像。
注：通常我们选取含草木等内容的户外场景图片，然后从中随机截取小图像块（如16x16像素）来训练算法。在实践中我们发现，大多数特征学习算法对训练图片的确切类型并不敏感，所以大多数用普通照相机拍摄的图片，只要不是特别的模糊或带有非常奇怪的人工痕迹，都可以使用。
在自然图像上进行训练时，对每一个像素单独估计均值和方差意义不大，因为（理论上）图像任一部分的统计性质都应该和其它部分相同，图像的这种特性被称作平稳性（stationarity）。
具体而言，为使PCA算法正常工作，我们通常需要满足以下要求：(1)特征的均值大致为0；(2)不同特征的方差值彼此相似。对于自然图片，即使不进行方差归一化操作，条件(2)也自然满足，故而我们不再进行任何方差归一化操作（对音频数据,如声谱,或文本数据,如词袋向量，我们通常也不进行方差归一化）。实际上，PCA算法对输入数据具有缩放不变性，无论输入数据的值被如何放大（或缩小），返回的特征向量都不改变。更正式的说：如果将每个特征向量
都乘以某个正数（即所有特征量被放大或缩小相同的倍数），PCA的输出特征向量都将不会发生变化。
既然我们不做方差归一化，唯一还需进行的规整化操作就是均值规整化，其目的是保证所有特征的均值都在0附近。根据应用，在大多数情况下，我们并不关注所输入图像的整体明亮程度。比如在对象识别任务中，图像的整体明亮程度并不会影响图像中存在的是什么物体。更为正式地说，我们对图像块的平均亮度值不感兴趣，所以可以减去这个值来进行均值规整化。
具体的步骤是，如果
代表16x16的图像块的亮度（灰度）值（
），可用如下算法来对每幅图像进行零均值化操作：
, for all
请注意：1）对每个输入图像块
都要单独执行上面两个步骤，2）这里的
是指图像块
的平均亮度值。尤其需要注意的是，这和为每个像素
单独估算均值是两个完全不同的概念。
如果你处理的图像并非自然图像（比如，手写文字，或者白背景正中摆放单独物体），其他规整化操作就值得考虑了，而哪种做法最合适也取决于具体应用场合。但对自然图像而言，对每幅图像进行上述的零均值规整化，是默认而合理的处理。
参考文献
http://cs229.stanford.edu
中英文对照
Principal Components Analysis 主成份分析
whitening 白化
intensity 亮度
mean 平均值
variance 方差
covariance matrix 协方差矩阵
basis 基
magnitude 幅值
stationarity 平稳性
normalization 归一化
eigenvector 特征向量
eigenvalue 特征值
中文译者
郭亮（guoliang2248@gmail.com），张力（emma.lzhang@gmail.com），金峰（jinfengb@gmail.com）, @破破的桥（新浪微博）, 谭晓阳（x.tan@nuaa.edu.cn）
