按一：第五章正文（五）母钱直径尺寸计算例释，把相关建国以来母钱币研究文章的雕母和母钱，母钱和子钱的直径进行对比。按照铸造钱币的材质收缩率进行了计算。没有得到一对钱币符合母子关系的证明。也就是说，他证明了他查阅文章中列举的母子关系钱币均不成立。关于收缩率的计算，作者给出了计算公式，大家研究中可以参考。
按二；作者曾在这篇研究文章之前提出的20个问题中指出：迄今为止，没有见到一枚符合的“母子钱币”：15．迄今为止，笔者见到一些母子钱直径比较研究的文献，[10]作者们称他们的比较和被比较对象为“同版别”或“同版同式”钱。但是，稍细心的人就会发现他们所给出的母子钱拓片表明各组母子钱之间存在明显的区别，不符合铸造工艺学规律，因而它们不具有可比性。这种现象的出现难道与同版别概念不清无关吗？
第三、
?
（五）母钱直径尺寸计算例释
母钱研究要以同模关系概念为其概念基础，否则母钱研究无法进行。这一点也明显地表现于上述(A)、(B)、(C)、(D)、(E) 诸式之中。任何离开同模关系的母钱定量研究都是毫无意义的。因此，母钱直径尺寸的计算自然要在同模关系钱中进行。举例计算与分析如次。
1．绍兴元宝
南宋绍兴钱以青铜钱料铸制，取青铜铸造收缩率计算其母钱直径。
有一枚绍兴元宝通用钱，铸作精良，其直径为 30mm，求解其母钱的直径尺寸。此种情况选用公式（D）计算：
L母＝L子（1+K缩） （D）
将数据代入上式：
L母＝30×（1＋1.2%）
＝30.36mm
亦即，上述直径为30mm的绍兴元宝的印模母钱的直径为30.36mm。
有两位学者发现了疑似母钱的绍兴元宝钱，并与一枚“同版通用钱精良者”（即上面被计算者）列表进行了比较。[16] 现将其部分比较内容以下表示之：
二位学者认为，两钱的直径差值1mm是合理的。若用公式（A）即铸造收缩率定义公式计算，则会发现其铸造收缩率与铸造生产实际大相径庭。将数据代入公式（A）则有：
K缩＝（31－30）÷30×100%＝3.33%
这个收缩率不仅远高于青铜的受阻线收缩率1.2%，而且也大大高于其自由线收缩率1.4%。因此，二位学者的疑似母钱无法得到证明。令人无法理解的是，同版通用钱的厚度不仅未因收缩而变得比疑似母钱薄，反而大于后者0.1mm。这是铜合金铸造中绝对不可能出现的情况。二位学者是将同版别、同版式看作与我们提出的同模关系完全相同的概念的，因为他们明确指出“特别与同版别的铁钱比较，才能确认其为'母子’关系”。[17] 根据他们提供的数据可以断定，两钱绝非同模关系钱(同模母子钱)。
在讨论同模关系概念时，我们曾提出同模关系确定的必要条件之一是数量标准。我们己指出直径、厚度两个数据不符合同模母子钱的数量标准。因此，两钱不是同模关系钱。既然如此，两位学者的比较是毫无意义的。
2．大定通宝
一位古钱学者认定了一枚大定通宝背申母钱，此钱直径23.6mm。辽代铜钱用青铜铸料铸制，以青铜铸造收缩率计算其同模子钱的直径。此种情况选用公式(C)计算：
L子＝L母÷(1+K缩) (C)
将数据代入上式，得出子钱直径为：
L子＝23.6÷(1+1.2%)
＝23.32mm
这就是说，直径23.6mm的母钱，其同模子钱的直径应为23.32mm。
但是，这位学者在指导钱币爱好者鉴赏这枚母钱时提供如下的指导意见：
鉴定要领：此钱白铜质，色泽颇似银钱，钱文无丝毫模糊之处，通体色浆熟就，品相极
佳。此钱较一般流通用的大定通宝直径大出1.2毫米(一般大定通宝直径2.24厘米)。[18]
在指导者看来，这枚大定母钱应大于其子钱1.2mm才是合标准的。但是，这样的铸造收缩显然是过份离谱了。依此数据计算铸造收缩率，则为：
K缩＝(23.6－22.4) ／22.4×100%
＝5.36%
这样的铸造收缩标准比正常的青铜铸造收缩率(1.2%)高出3.5倍之多。这显然是不符合铸造生产实际的。
这位学者的类似意见还见于其对一枚洪武通宝背五钱母钱的鉴定：
数据：直径4.1厘米，穿径1.43厘米，重22克。
鉴定要领：钱体厚重，体积较一般“背五钱”“洪武通宝”稍大，北京钱币博物馆及丁著《历代古钱图说》所载“背五钱”“洪武”直径皆为3.85厘米。[19]
直径41mm的洪武母钱，其同模子钱直径应为：
L子＝41／(1+1.2%)
＝40.51mm
这与38.5mm相去甚远。若按子钱38.5mm计算铸造收缩率，则为：
K缩＝(41－38.5)÷38.5×100%
＝6.5%
上述的计算表明，任何缺乏铸造工艺学基础和同模关系概念基础的母子钱直径的比较都是不符合铸造生产实际的，都是无助于母钱研究的。
3．政和通宝
一位学者认为一枚政和通宝“有雕母特征”，“直径2.55厘米”。[20] 求解其同模青铜母钱的直径尺寸。此种情况应选用公式（E）计算：
L祖＝L母（1+K母缩）
由之导出下式：
L母＝L祖÷（1+K母缩）
将数据代入上式得出：
L母＝25.5÷（1+1.2%）
＝25.2mm
亦即直径为25.5mm的雕母，其青铜母钱的直径为25.2mm。若以此母钱铸作流通钱，则其同模子钱的直径为以公式（C）来计算：
L子＝L母÷（1+K缩）
＝25.2÷（1+1.2%）
＝24.9mm
依此可计算由雕母到子钱的铸造收缩率，即同模祖子钱直径差值率：
（25.5－24.9）／24.9×100%
＝2.41%
鉴定这枚具有雕母特征的政和通宝钱的两位学者在文中提供的祖子钱差值率为8%—9%。[21] 这显然是错误的。对此，我们将在后面给出更详尽的证明。
4．崇祯通宝
己知一枚由黄铜铸制的崇祯通宝小平钱，其直径为26mm。求解此钱与其同模母钱的直径差值。铜锌合金为黄铜，铸造收缩率的受阻线收缩率为1.5—1.7%，我们取其中值1.6%进行计算。此种情况要选用公式（B）计算：
L母－L子＝L子K缩
代入数据，母子差值为：
L母－L子＝26×1.6%
＝0.42mm
此钱的同模母钱直径为：
26+0.42＝26.42mm
由此可见，欲知任何一枚子钱的印模母钱的直径和母子钱径差值，则可用上法计算。
5．宝泉咸丰元宝当百钱
《清朝母钱》一文的作者认定一枚宝泉咸丰元宝当百钱为母钱，并给出了产生此母钱的雕母的拓片。母钱为7号拓片，雕母为16号拓片。母钱为黄铜铸制。测量出的二拓片的数据如下：
雕母钱面、背＼42.7mm，＼43mm
母钱面、背 ＼41.2mm，＼41.5mm
符号＼含义同前，即＼为左上至右下的缘内直径。从上述数据可直观地得知，二者绝非同模关系钱。计算其铸造收缩率如下：
K缩＝（42.7－41.2）／41.2×100%
＝3.64% (钱面)
K缩＝(43－41.5) ／41.5×100%
＝3.61% (钱背)
钱面、钱背的两个收缩率并非完全相同，但极其近似，这只能理解为拓片误差。这个铸造收缩率高于黄铜铸件的受阻线收缩率1倍多，因此，二者为非同模关系钱，论文作者对母钱性质的证明不能成立。如果细审二钱拓片，则发现二者钱文、细节特征等多有不同。如果此钱确系母钱，则证明其性质的同模祖钱的缘内直径为：
L祖＝41.2×(1+1.6%)
＝41.86mm
或
L祖＝41.5×(1+1.6%)
＝42.16mm
6．咸丰通宝当十钱母
一位藏家曾认定一枚宝泉咸丰通宝当十铁母：“此钱厚3，直径28.5[按：刊误，实为38.5]毫米，此铁钱厚0.5，大1毫米，且毫无流铜阻塞现象，故为精铸之铁母。”[23] 依此计算其铸造收缩率如下：
K缩＝[38.5－37.5] ／37.5×100%
＝2.67%
此受阻线收缩率是正常规律者的近3倍，显然藏家用以比较证明的铁钱与之为非同模铁质子钱。其钱文特征的差异，如前所述。若此钱确系母钱，则其同模铁质子钱的直径应为：
L子＝38.5／[1+0.9%]
＝38.16mm
亦即，二钱直径差值为：
38.5－38.16＝0.34mm
7．戴书咸丰小平大样铁母
一位藏家将一枚戴书咸丰通宝小平钱鉴断为铁母，其根据是此钱“恰与《咸丰泉汇》1—1—162图铁钱同版同式”，“面径26.9毫米，背径26.4毫米”，“型体则铜大于铁”。[24]
检测1—1—162铁钱拓片的面背二径，其结果为：面背二径均为25mm。其受阻线收缩率为：
K缩＝[26.9－25] ／25×100%
＝7.6%
或
K缩＝[26.4－25]÷25×100%
＝5.6%
这样的铸造收缩率高于正常规律者6—8倍之多，十分明显，铜铁二钱绝非同模母子关系钱。因此，藏家给出母钱性质的证明不能成立。若铜钱确系铁母，则其铁质子钱直径尺寸应为：
L子＝26.9／[1+0.9%]
＝26.66mm
或
L子＝26.4÷[1+0.9%]
＝26.16mm
8．宝直咸丰当百铅钱
咸丰朝铸行铅钱。《咸丰泉汇》载宝直咸丰当百铅钱一枚，其面缘直径为37mm。[25] 求解其同模母钱的直径如下：
L母＝37×(1+2.0%)
＝37.74mm
我们将铅钱的受阻线收缩率确定为2%左右，一方面根据其自由线收缩率，另一方面根据宝苏铅质伪钱(容后具体讨论)。
9．新疆红钱
如前所述，新疆红钱并非纯度很高的紫铜所铸，因其中含有很少量的锌锡而呈红色。其铸造收缩率，我们根据锌和紫铜铸造收缩率(紫铜为1.2—1.7%)[26] 将之确定1.4%，用于近似定量计算。
《咸丰泉汇》载阿克苏红钱29—3—3号，其径26mm，求解其印模母钱直径：
L母＝26×(1+1.4%)
＝26.36mm
由“净铜”铸造的咸丰宝泉、宝源当千、当五百大钱的计算，其铸造收缩率值仿此。
10、伪红钱
如前所述，伪红钱的内体为锌基加铜的锌合金，其铸造收缩率可确定为黄铜的自由线收缩率的中值(即1.8%)，以之进行近似计算。
笔者藏有一枚宝福光绪通宝小平伪红钱，其径22mm，其红铜冷浸镀层平均约0.15mm，求解其同模母钱直径。因其包括镀层0.15mm，所以应先将镀层减除。其算式和结果为：
L母＝(22－0.15)×(1＋1.4%)
＝22.16mm
这就是说，伪红铜钱径与其印模母钱径相差甚小。这是极其特殊的情况，其母子差值与铁母和其铁质子钱差值相近。如直径22mm的铁钱，其同模母钱径为：
L母＝22×(1+0.9%)
＝22.2%
上述诸例己经涉及己给出的所有计算公式，不再赘述。上述诸公式不仅可用于计算具有同模关系的雕母、母钱、子钱的直径，也可用于同模关系钱实物的定量分析，从而确定它们之间关系性质。这是一个问题的两个方面。对后者，我们将于下面讨论。
（六）铸造收缩率应用于既有同模钱定量分析
研究诸种钱币图谱类出版物和期刊，我们发现了极少量具有同模关系的古钱。在文献中，它们两两关系呈现为或被定为祖子关系，或被定为“母子”关系。其中，有的鉴断正确，有的鉴断失确。我们将所发现的6组同模关系钱根据铸造收缩率予以定量分析。
1．一组同模宝泉咸丰元宝当百大钱
台湾《钱币天地》杂志曾刋录台湾泉家陈鸿禧的一枚咸丰宝泉当百大钱雕母的据片。[27] 根据铸造工艺性质和特征观察分析可知，此雕母与《咸丰泉汇》中的1—6—8号黄铜子钱具有同模关系。[28]亦即1—6—8号钱间接产生于陈之雕母。现将测量二钱拓片缘内径的结果以a，b，c，d和a＇，b＇，c＇，d＇分列如下：
雕母钱面a \ 42.7mm， b / 43mm
子钱钱面a＇\ 42mm， b＇/42.2mm
雕母钱背c \ 43mm， d /44mm
子钱钱背c＇\ 42mm， d＇/43mm
根据铸造收缩率定义公式计算雕母与同模子钱的铸造收缩率(亦即祖子钱径差值率)如后：
K祖子缩＝(42.7－42) ／42×100%
＝1.67%
K祖子缩＝(43－42.2) ／42.2×100%
＝1.9%
K祖子缩＝(43－42) ／42×100%
＝2.38%
K祖子缩＝(44－43) ／43×100%
＝2.33%
经计算，4组计算结果的平均值为2.07%。由雕母印模铸出母钱，再由母钱印模铸出子钱，如前所述，其间需要计算两次铸造收缩率(即与设计母模和模样相同)。因此，陈之雕母印铸母钱，或母钱印铸马之子钱，其铸造收缩率约为1.04%，此即上述雕母与由之印铸的母钱的直径差值率，也是该母钱与马之子钱的直径差值率。尽管这个计算结果与正常规律的差值率1.6%有较大差别，但是我们认为仍是较接近于实际的，因为文献记载的黄铜受阻线收缩率最低者可达到1.2%。[29] 据观察，咸丰宝泉当百大钱均为深铸，即内外郭口，字口均深，热阻力大，其收缩受阻严重，其收缩率降为1.2%左右是完全可能的。同时，我们认为测量拓片总是不会十分准确的，上述4组差值率不一致即为明证)。
那么，陈之钱为雕母，马之钱为同模母钱，或者陈之钱为母钱，马之钱为同模子钱，这有无可能？回答是否定的。我们己经说明，铸造收缩率之自由线收缩率是通过科学实验确定的，所得到的实验结果是稳定的，因此它与受阻线收缩率不同，后者的确定含经验因素较多，相关条件多。如果两枚钱有直接源流关系(祖与母或母与子)，那么其铸造收缩率值不可能超过锌黄铜(铜锌合金)的砂铸自由线收缩率的最高值。结合宝泉当百大钱口深受阻大的情况，可以断定，其铸造收缩率值甚至不可能超过锌黄铜的受阻线收缩率值1.7%。此外，还应指出，马定祥将其1—6—8号钱定为子钱必有钱体不精整之处。而雕母钱与非雕制钱的界限还是较易把握的。因此，我们认为两位泉家的鉴断是正确的。
2．一组同模宝苏铜、铅当五十大钱
《宝苏局钱币》载有一组同模当五十大钱，一为黄铜子钱(编号为B11—12)，一为铅质伪钱。作者确认二者为同模关系，即铅质伪钱当五十大钱为由B11—12号之同模大钱印模铸成。[30] 细审二钱拓片可以看到，铅钱钱缘宽于铜钱，铅钱外缘直径大于铜钱。《宝苏局钱币》的作者称：“图示之特阔缘当十钱(按：指当十铅质伪钱)，是以普通阔缘钱作印范铸出的，再经捶打钱缘，以模仿特阔缘样钱之式。图示之当五十钱(按：即我们要讨论的当五十铅钱)，亦以此法作伪，其真钱原型亦已找到，即图B11—12这一种钱。”[31] 根据作者观察可知，铅钱外缘由于捶打而外延，故径大于铜钱，缘不同程度地宽于铜钱。根据对铅钱拓片的观察分析，铅钱外缘内侧靠钱文的部分未经捶打或稍有捶打，因此，铜钱和铅钱的钱面各部分的布局和黑白关系基本一致。反复细审钱拓片可见，二钱的钱文的用笔、结体、笔势、布局完全一致，特别是文字具有明显特征的细节完全一致。由此可见，作者的鉴断是正确的。这一点还可在缘内径差值率的计算结果中得到证明。
两枚钱拓片缘内直径的检测结果为：
铜钱钱面 \ 40.5 mm, /40.5mm
铅钱钱面 \ 39.7 mm, /39.6mm
铜钱钱背 \ 38.0mm, /38.5mm
铅钱钱背 \ 37.3 mm, /37.7mm
依公式计算其铸造收缩率如下：
① L母＝(40.5－39.7) ／39.7×100%
＝2.02%
② L母＝(40.5－39.6) ／39.6×100%
＝2.27%
③ L母＝(38.0－37.3) ／37.3×100%
＝1.88%
④ L母＝(38.5－37.7) ／37.7×100%
＝2.12%
经计算，二钱内缘直径差值率的平均值为2.01%。这就是铅质古钱的受阻线收缩率。由于这枚铅钱的外缘曾受捶打，不可能完全不冲击到外缘靠内部分，由于捶打时向外展延，所以铸造收缩率的计算所受影响不大。若未经捶打，则其铸造收缩率可能要稍大于2.01%。不过，计算时仍将铅质者以2%的收缩率进行计算。
3．一组同模铅质当十大钱
《宝苏局钱币》载有一枚咸丰重宝当十铅质母钱，编号为A3—5号，[32] 《咸丰泉汇》中的12—3—103号钱与之完全相同(包括形制和钱文)。两钱的8条缘内径相等，即均为31.2mm。但是，前者被定为母钱，后者被定为样钱。根据清代对样钱的规定，样钱由母钱铸出。[34] 因此，上述二书的作者观点和鉴定结果互相矛盾不一。笔者断言，将铅质者鉴定为母钱是错误的，因为铅质材料不宜于铸制母钱(容后给出证明)。二者是否均为样钱，笔者难以给出证明。
4．一组同模宝苏咸丰当五等径钱
《宝苏局钱币》中的A2—17黄铜钱被作者定为雕母。[35]《咸丰泉汇》中的12—2—1号与之完全相同，二者属同模关系钱。但是，后者被马定祥定为母钱。两钱的鉴断是否正确无误待讨论。
两枚钱拓片缘内径的测量结果如下：
A2—17 钱面 \ 23.16mm , / 22.30mm
12—1—1 钱面 \ 23.16mm , /22.20mm
A2—17 钱背 \ 22.48mm , /22.50mm
12—1—1 钱背 \ 22.46mm , /22.46mm
应比较的4对缘内径中，有2对分别等值，有一对为负值(雕母径小于母钱者)，只有1对的差值为0.1mm。从拓片本身看，二者等径，因此，两枚钱的鉴断结果不可能同真。因为即使是同一雕刻工匠按同一枚样钱雕制两枚祖钱，二者也不可能完全相同，所以，雕母钱性质的断定是错误的。二者是否均母钱？需要用同模祖钱或同模子钱予以证明。
5．另一组同模宝苏咸丰当五等径钱
《宝苏局钱币》中的A2—18号钱被定为雕母。[37] 与之同模等径的钱是《咸丰泉汇》中的12—2—2号钱，它被定为母钱。[38]检测两枚钱拓？片的缘内径的结果如下：
A2—18 钱面 \ 23.20mm， / 23.00mm
12—1—2 钱面 \ 23.10mm， / 23.00mm
A2—18 钱背 \ 22.60mm， / 22.46mm
12—1—2 钱背 \ 22.56mm， / 22.50mm
上述4组对比缘内径，除1组等值外，其他差值最大者0.1mm，还有1组为负值(雕母缘内径小于母钱者)。因此，二者是两枚同模等径钱。两书的作者对二者的断定不可能同真。雕母性质的鉴断是错误的，母钱性质的鉴断尚待证明。
6．一组同模宝浙咸丰当四十等径钱
《咸丰泉汇》中载有同模宝浙当四十大钱两枚：14—6—2号和40—54号。前者被定为试铸的子钱，后者被定为伪钱，即“后世翻铸”的伪钱。翻铸时要用与之同模的14—6—2号或与14—6—2同模的其他子钱。若此种情况是真实的，则14—6—2号钱径必然大于40—54号钱径。事实上，二者等径，因此上述假设不能成立。因二者等径，故二者必由一批同模母钱中的一个或两个母钱印模铸就。既然如此，要么两者均为试铸子钱，要么两者均为“后世翻铸”的伪钱，而不可能一为试铸子钱，一为伪钱。测量两钱拓片缘内径的结果对比分列如下：
14—6—2钱面 \ 28 mm， / 28.2mm
40 — 54钱面 \ 28 mm， / 28.2mm
14—6—2钱背 \ 27.8mm， / 27.4mm
40 — 54钱背 \ 27.7 mm， / 27.4mm
由上可见，二者等径。一为伪钱的鉴断，一为非伪钱的鉴别，这是令人难以理解的。
如上的分析仅据拓片而为。因为缺少具体的数据说明，而拓片又与实物有别，所以，不知所作分析是否确当。恳请实物收藏者赐教，以将研究工作进一步引向深入。当将要结束母钱直径定量研究部分的时候，需要说明一点：我们所提出的“母钱定量研究”绝非指分毫不差的定量分析，犹如化学定量分析那样，只是相对以往的母钱研究中的“大而厚重”而言的。因此，我们所说的“母钱定量研究”也可称为“母钱近似定量研究。”即使“近似”，我们仍可断言，它确实可以使我们准确地认识母钱的本质属性，从而为母钱的正确鉴断提供一种可靠的科学方法。
参考文献
[1] 参见丁根宝所著《铸造工艺学》下册，机械工业出版社，1985，49—50页。
[2] 同上。
[3] 张东亮等，《简明实用铸造手册》，山西科学教育出版社，1990，
276页。
[4]《金相图谱》下册。上海材料研究所54—55页。
[5] 同[1 ] 50—52页。
[6] 同[1] 36—37页。
[7] 同[1] 37页。
[8] 李庆春：《铸件形成理论基础》机械工业出版社，1982，230页。
又，丁根宝：《铸造工艺学》上册，381页。
[9] 李魁盛：《铸造工艺及原理》，机械工业出版社，1989，458—459
页。
[10] 钟广言注释：《天工开物》，广东人民出版社，1976，359页。
释者称：“从明代永乐(公元1402年)朝开始，己有纯度达97.6～99%的纯锌钱币铸出。又，外国学者E·F·Leeds为伦敦的钱币编年史杂志(Num.Chron.)1955年，15期撰文介绍了明代锌钱的纯度(含锌97—99%)，177页。
[11] T.A.Burns：《铸工手册》，兵器工业出版社，1993，47—48页。
[12] 胡我琨：《钱通》，上海古籍出版社影印本，1987，380页。
[13] 倪模：《古今钱略》上海古籍出版社影印本，1992，43页。
[14] 北方交通大学材料系：《金属材料学》中国铁道出版社1982，
430—431页。
[15] 朱圣弢：《引人注目的红钱新品》，载《钱币漫话》
上海教育出版社，245—247页。
[16] 李梁等《宋钱大观》，湖南文艺出版社，1994，30页。
[17] 同上，34页。
[18] 董大勇：《珍稀古钱鉴赏举要》，《收藏》总63期，36页。
[19] 同上。
[20] 郑泰鸿等：《两宋钱形制成因及样钱母钱特征要素初探》，载《宋
代货币研究》，中国金融出版社，1995，206页。
[21] 同上， 202页。
[22] 钱卓：《清朝母钱》，《中国钱币》，1990，18页，22页。
[23] 俞鸿昌：《咸丰当十铁母》，《中国钱币》1996，第4期，38页。
[24] 朱怀津：《戴书咸丰小平大样铁母》，《收藏》总61期，34页。
[25] 马定祥：《咸丰泉汇》，上海人民出版社，1993，335页。
[26] 施廷藻：《铸造实用手册》，东北工学院出版社1988，3—129页。
[27] 同22，22页。
[28] 同25，137页。
[29] 同26。
[30] 邹誌谅等：《宝苏局钱币》上海古籍出版社1995，222页，
317—318页。
[31] 同上，317页。
[32] 同上，53页。
[33] 同上，25页。
[34] 唐与昆：《制钱通考》，参见《宝苏局钱币》，40页。
[35] 同30，50页。
[36] 同25，487页。
[37] 同30，51页。
[38] 同25。
