中考试题中滚动旋转问题分析

 摘要：以2017年全国各地中考试题为例，归纳了滚动旋转的四种类型：沿数轴等特殊直线滚动旋转；正方形在正六边形内沿边滚动旋转；正三角形在正三角形外沿边滚动旋转；在坐标系下利用中心对称滚动旋转，以及滚动旋转的基本特征和解法：按已知条件探索出周期规律，利用周期性结合旋转知识进行求解。

关键词： 中考试题   滚动旋转  循环周期

几何图形的旋转变换是初中数学图形变换的重要内容，也是中考重点考察的的高频考点内容。各地中考试题中除了考察旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）和基本性质（不变性）之外，也常常将三角形全等与相似结合起来，对存在性问题的探索与最值问题的确定进行综合考察。从最近两年的中考试题来看，一种新的综合——旋转与滚动的综合也在各地中考试题中有所体现，并在一些省市的中考试题中呈上升趋势。下面我们仅以2017年中考试题为例，将滚动旋转问题进行分析，为初三师生中考备考复习提供参考。

　类型一   在直线上的滚动旋转　

例1（浙江衢州市）．如图1，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是　   　，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为　   　．

图1

解题分析：作B3E⊥x轴于E，易知OE=5，B3E=

，观察图形可知，连续滚动旋转三次为一个循环。在一个循环内，点M的运动路径是：分别以O点为圆心，以

为半径，圆心角为1200的圆弧；以B1为圆心，以1为半径，圆心角为1200的圆弧；以B2为圆心，1为半径，圆心角为1200的圆弧共同组成。由2017÷3=672…1，从而可求出翻滚2017次后AB中点M经过的路径长。

解：如图2作B3E⊥x轴于E，易知OE=5，B3E=

，

∴B3（5，

），

观察图象可知，连续旋转三次为一个循环，一个循环内，点M的运动路径为

+

+

=（

）π，

∵2017÷3=672…1，

∴翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为

672·（

）π+

π=（

+896）π．

故答案为（

+896）π．

图2

评注：本题是将正三角形一边放在X轴上，分别以三角形顶点为中心进行滚动旋转。考查旋转的基本性质、轨迹、弧长公式、等边三角形的性质等知识，以及规律性问题的解决方法，推理、探索、归纳与计算自然融入题中。考察学生在数学活动的体验中感受到学习数学的兴趣和动力。本题的解题关键是灵活运用所学知识解决问题和从特殊到一般的探究方法。

例2．（广西南宁市）如图3，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为　   　．

图3

【分析】利用旋转的基本性质，首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．权所有

解：第一次旋转，以A点为旋转中心，将正方形ABCO顺时针旋转900,

P点旋转到P1的位置，可求得P1的坐标为（5，2），

同理，

第二次P2（8，1），

第三次P3（10，1），

第四次P4（13，2），

第五次P5（17，2），

发现点P的位置旋转四次为一个循环，

∵2017÷4=504余1，

P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+12×504=6053，

∴P2017（6053，2），

故答案为（6053，2）．

评注：此题是重点分析正方形内一已知点随正方形滚动旋转前后的坐标变化。考察旋转的基本性质及简单计算。与例2不同的是已知点不在边上，而是在内部某一具体位置。虽然求解的问题不同，但解题思路与方法没有改变。

例3（山东省菏泽市）如图4，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=﹣

x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O1的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=﹣

x上，依次进行下去…若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为　   　．

图4

【分析】观察图象可知，(1)ΔABO没直线y=﹣

x依次滚动旋转三次为一个旋转周期。（2）O点脚标是偶数的时候全部在直线y=﹣

x上，（3）由y=﹣

x和B（0，1），可通过解直角三角形求角及边长。

解：观察图象可知，O12在直线y=﹣

x上，B（0，1）可得∠BAO=300

∴OA=2，AB=

ΔABO没直线y=﹣

x依次滚动旋转三次为一个旋转周期。

在一个旋转周期内，OO2=OA+AB1+B1O2=2+

+1=3+

OO12=6·OO2=6（1+

+2）=18+6

，

O12的纵坐标=

OO12=9+3

，

故答案为9+3

．

评注：本题是将一直角三角形放在特殊的一次函数这条直线上滚动旋转。所考察的是：图形与坐标的变化——一次函数图象上点的坐标特征。由于是将直角三角形滚动旋转，所以旋转中心分别为三角形的三个顶点，旋转角分别为直角三角形的三个内角或其补角，旋转方向为逆时针方向旋转。通过探索和分析易于判断其周期性。按周期性问题计算长度就比较容易得出答案。规律性问题是属于中考常考题型．

从例1例2例3来看，三个考题都是将基本而重要的特殊图形放在特殊直线（坐标系的坐标轴或特殊的正比例函数）上滚动旋转，正因为这些“特殊”的存在，隐含着较多的已知条件，便于进行各种计算。同时，在边续滚动旋转之后，都是呈周期性地出现，因此规律问题的特征分析和解法也得到较好的考察。

类型二   在多边形内部沿边滚动旋转　

例4（河北省中考）．如图5，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：

将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（　　）

A．1.4      B.1.1     C.0.8     D.0.6

分析：旋转作图，以正多边形和正方形为背景。正六边形每个内角是120°，正方形都是绕着正六边形顶点旋转30°，先把正方形每次旋转后的图形画出来，然后找到点M旋转后的位置以及对应的轨迹，可以发现点M的运动路线都是一段弧长。

解：B点固定不动，在每次旋转过程前后重点考察M点的运动轨迹：

在第一次（如图6）和第二次旋转（如图7）过程中，点B与点M距离d是1；

第三次旋转（如图8）过程中，点B、M间距离满足

1;

第四次旋转（如图9）过程中，点B、M间距离满足

；

第五次旋转（如图10）过程中，点B、M间距离满足

1，

第六次旋转（如图11）过程中，点B、M间距离d=1

综上所述：距离范围在

。故选C

    评注：涉及旋转问题，首先要弄清旋转的三个基本要素，画出旋转前后的图形，在此基础上，进行分析与计算。这类问题更易于考察学生对数学活动的体验。

类型三    在多边形外部沿边滚动旋转

例5（广西玉林市）．如图12，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（　　）

     

图12

A．240°B．360°

C．480°D．540°

分析与解一：先把小三角形沿着大三角形滚动的情况画出来(如图13)绕着小三角形的顶点旋转120°，第二次绕着大三角形的顶点旋转240°，第三次绕着小三角形的顶点旋转120°)。旋转的度数其实就是线段OA绕点O旋转的度数：240°+120°+120°=480°。

分析与解二：三角形的内心是角平分线的交点，如图13：第一次AO顺时针转动了120°，第二次AO顺时针转动了240°，第三次AO顺时针转动了120°，线段OA绕点O顺时针转过的角度是：120°+240°+120°=480°．
        故选：C

评注：本题难度不大，但容易让学生不理解的问题是：“线段OA绕点O顺时针转”，但在旋转的过程中，O点也在旋转。其实如果我们教学时把旋转的本质分析理解透了，问题就容易解决。因为在旋转的过程中，被旋转的对象整体或部分旋转角度是相同的，旋转方向是相同的。所以，只要抓住一个点的旋转进行求解即可。

类型四   利用对称性绕中心滚动旋转

旋转1800，本质就是中心对称。在旋转中心变化的情况下，，旋转轨迹呈圆周式滚动

例6（湖北省天门市）如图14，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），

点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，

点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕

点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋

转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，

则点P2017的坐标为　   　．

分析与解：根据旋转1800实质为中心对称的特征，将续续绕不同点进行旋转作图，可以发现规律，寻找规律后即可解决问题．

如图，P1（-2，0），P2（2，-4），P3（0，4），P4（-2，-2），P5（2，-2），P6（0，2），发现旋转6次为一个循环，
∵2017÷6=336…1，
∴点P2017的坐标与P1的坐标相同，即P2017（-2，0），
    故答案为（-2，0）．

评注：本题第一个考察知识点—中心对称，学生要会找对称点，一旦

坐标找错，后面规律就发现不了。所以首先要掌握基础知识。第二个：常规的找规律题目，循环节是2—3个，但本题是6个一个循环节，学生通常可以找到

，

的坐标，但根据平常做题，发现前面四个点没有规律，就没有思路往下做。所以，对于规律题，如果循环节没有在2-3个出现的时候，提醒学生根据题意多找几个点或者多算几个数，再进行观察。

     滚动旋转作为考察几何图形旋转变换的新题型，从以上四个类型的题目来看，体现出如下几个特点：

1．  能较全面的考查旋转的基本要素和基本性质。尽管滚动旋转旋转中心在

变化，旋转角度在变化，但在每一次旋转的局部过程中，仍能考察学生对旋转三要素和旋转的基本性质的理解和掌握程度。

    2.题型基本上都是以选择填空题的形式出现，分值不高，但属于选择填空题中的“压轴题”。虽然计算量不大，但对学生的思维能力考察没有降低。

3．  此类考题规律性明显，考察周期的知识突出。而周期性问题又能考察出

学生观察、发现、归纳的能力。也是为学生进入高年级学习时奠定重要的学习基础，因此历来都被命题者所青睐。

4．  滚动旋转问题的操作性很强。“义务教育数学课衙标准”在关于目标的要

求中，明确指出“参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些经给”“通过观察、实验、推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象的区别与联系”数学操作性问题正好是通过数学活动的体验，获得数学活动的经验。

    在各地中考试题中，旋转本身易出综合题。但结合滚动的知识内容之后，方法就容易掌握，难度自然降低。特别是初中阶段一些非常重要的特殊且基本的图形，如正三角形、正方形、直角三角形等作为主要基本图形放入题中，让学生读题解题都有一种似曾相识的熟悉感，解题门坎设置不高，但对知识与能力的考察要求没有降低，比较符合现在的命题理念。所以作为初三教师在指导学生初三备考复习时，可借助各地中考试题进行改编，让学生在创新的试题中提高解题能力。

参考文献

（1） 中华人民共和国教育部制定, 义务教育数学课衙标准（2011年版）[M]  北京：北京师范大学出版社，2012

（2）教育部基础教育课程教材专家工作委员会. . 《义务教育数学课衙标准（2011年版）》解读[M].  北京：北京师范大学出版社，2012

作者简介：沈伟忠（1963——），男，中学高级教师，主要从事数学课堂教学、数学竞赛及中考高考数学命题研究