重叠问题
知识要点
三(1)班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品,当中队长玲玲将28份纪念品发下去时,却多出5份,这是怎么回事?对了,因为有5位同学既参加了绘画比赛,又参加了朗读比赛,所以奖品就多出了5份。数学中,我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理,即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题,必须从条件入手进行认真的分析,有时还要画出图示,借助图形进行思考,找出哪些是重复的,重复了几次?明确求的是哪一部分,从而找出解答方法。
【例1】六一儿童节,学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起,红旗是第8面;从后数起,红旗是第10面。这行彩旗共多少面?
【思路导航】根据题意,画出下图:
从图上可以看出,从前数起红旗是第8面,从后数起是第10面,这样红旗就数了两次,重复了一次,所以这行彩旗共有8+10-1=17面。
【例2】同学们排队做操,每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个,从右数起是第3个,从前数起是第5个,从后数起是第6个。做操的同学共有多少个?
【思路导航】根据题意,画出下图
由图可看出:小明的位置从左数第4个,右数第3个,说明横行有4+3-1=6个人;从前数第5个,从后数第6个,说明竖行有5+6-1=10人,所以做操的同学共有:6×10=60人。
【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米,中间重叠部分是16厘米,这两块木板各长多少厘米?
【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来,钉在一起的长度就是重叠部分,重叠的部分是16厘米,所以这两块木板的总长度是120+16=136厘米,每块木板的长度是136÷2=68厘米。
【例4】一次数学测试,全班36人中,做对第一道聪明题的有21人,做对第二道聪明题的有18人,每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人?
【思路导航】根据题意,画出下图:
图中间重叠部分表示两道题都做对的人数,把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得21+18=39人,这39人比全班总人数36多出了39-36=3人,这多出的3人既在做对第一题的人数中算过,也在做对第二道题的人数中算过,即表示两道题都做对的人数。
【例5】三(1)班订《数学报》的有32人,订《阅读报》的有30人,两份报纸都订的有10人,全班每人至少订一种报纸。三(1)班有学生多少人?
【思路导航】根据题意,画出下图:
从上图可以看出,中间重叠部分表示两份报纸都订的10人,这10人既被包括在订《数学报》的32人内,又被包括在订《阅读报》的30人内,重复算了一次,所以要算出全班人数,必须从32+30=62人中去掉被重复算过的10人。所以全班人数应是62-10=52人。
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