历史由来
13世纪，意大利数学家斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo）在他的《算盘书》（Liber Abaci）中提出了一道免子繁殖问题。如果每对兔子(一雄一雌)每月能生殖一对小兔子(也是一雄一雌)，这些小兔子出生以后第二个月就能再生一对小兔，假定这些兔子都没有死亡现象，从养刚出生的一对兔子开始算起，求12 个月以后会有兔子的对数。[2]
根据问题，可以逐一列出每个月的兔子对数，如下表所示。[2]
月份数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
兔子数(对) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 |
如果将每月的兔子数量以数列形式排列：这个数列就被称为斐波那契数列，也称为黄金分割数列。[2][4] 1634年，此时距斐波那契去世已经过去了400年，数学家吉拉德(A.Girard)发现斐波那契数列之间有如下递推关系，也就是从第三个数开始，每个数等于前两个数的和。[4]
1680年，卡西尼(G.D.Cassini,1625一1712)发现了斐波那契数列项间的一个重要关系式：[4]
18世纪初，棣美佛(A.de Moivre,1667一1754)在其所著《分析集锦》(MiscellaneaAnalytica)中，给出斐波那契数列的通项表达式。[4]
它又称为比内公式，这是以最初证明它的法国数学家比内(J.PMBinet，1786-1856)命名的，这是一个以无理数来表达有理数数列的通项公式。[2][4]
1753年，西姆森(Simson,1687-1768)发现斐波那契数列中前后两项之比是下面连分数的第n个渐进数。[4]
1864年，法国数学家拉梅(GLame)利用斐波那契数列证明:应用辗转相除法(欧几里得除法)的步数(即辗转相除的次数)不大于较小的那个数的位数的5倍。这是斐波那契数列的第一次有价值的应用。在这之后，人们又陆续发现了斐波那契数列的诸多性质，斐波那契数列也应用于越来越多的场景，人们也意识到这是个非常重要的数列。[4] 基本概念
定义
斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列。在数学上，斐波纳契数列以如下递归形式定义，即前两项为1，从第3项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的每一项都被称为斐波那契数。[2][4] 通项公式
斐波那契数列的通项公式有多种表达形式。[5]
比内公式
斐波那契数列的通项公式可以使用如下表达式，这又称为“比内公式”，是以最初证明它的法国数学家比内(J.PMBinet，1786-1856)命名的，该通项公式给出了生成斐波那契数的方法。[2][4][3]
行列式形式
斐波那契数列的通项公式可以由以下n阶行列式来表示。该行列式对应的矩阵也被称为斐波那契矩阵。[5]
矩阵、向量积的形式
斐波那契数列还可以使用矩阵和向量乘积形式来表达，如下式所示。[6]
可见该形式蕴含了斐波那契数列的构造方式。[6]
组合数和形式
斐波那契数列通项表达式还可通过杨辉(贾宪)三角表示。如右图所示，如果把杨辉三角改写一下，按照右图所示连线，沿着各线上所有的数字分别相加，则[7] 第一个数：1
第二个数：1
第三个数：1+1=2
第四个数：1+2=3
第五个数：1+4+3=8
这些数字构成的数列恰好为斐波那契数列。因此，斐波那契数列与杨辉三角类似，同样可以由组合数的和形式来表达，具体公式如下：[7] 比尔公式的证明
由递推形式可知，斐波那契数列是一个二阶循环序列。所谓的二阶循环序列，指的是从第三项开始，每一项可以表示前两项的线性组合。[8] 且多项式称为该数列的特征多项式，如果该多项式存在两个不同的根，根据二阶差分方程的性质，该二阶循环序列的通项公式可由线性组合来表示。[8] 利用上述结论可以证明比内公式是斐波那契数列的通项公式。[8]
显然，斐波那契数列也就是系数a1和a2均取1的情况，因此为斐波那契数列的特征多项式。[8] 则斐波那契数列的通项公式可以由以下形式表达，[8]
性质
斐波那契数列具有非常多的性质，以下列出其中的一部分。[4][9]
现有矩阵 ，则矩阵A与斐波那契数列存在如下关系：[9]
斐波那契数列的前后三项存在下列关系。[9]
斐波那契数列的任意连续九项存在下列关系式。[9]
相邻两斐波那契数互质(素)，即，对于任意两个斐波那契数列，其最大公约数满足以下关系，这被称为卢卡定理。[10]
对任何正整数m，在前m2个斐波那契数中必有一个可被m整除。[11]
为丢番图数组，其中任两数之积加1均为完全平方数。[12] 斐波那契数列还满足下列关系。[13]
斐波那契数存在如下级数形式的关系。[14]
斐波那契数列的前n项和、偶数项和、奇数项和、正负相间项和满足以下关系。[15]
相关概念
黄金分割数
如右图所示，把一条线段分成两段，使其满足，这被称为黄金分割。线段AC的长度为被称为黄金分割数。[16] 黄金分割数是自然之美的一种概括，在自然界和人类本身都能体现这种比例。例如，人的肚脐的高度差不多就是人身高的 0.618。黄金分割数蕴含的美学概念在古希腊就已经为人所运用，如希腊时期的巴特农神殿其高与宽的比例正好是 0.618，埃及金字塔的侧棱线与底线的比例也正好是0.618。除了建筑，黄金分割还广泛应用于绘画、摄影、音乐等领域中。[17][18] 斐波那契数列与黄金分割数有着紧密的联系，例如在比内公式中就出现了黄金分割数，此外，前后两项的斐波那契数之比的极限恰好为黄金分割数。斐波那契数列在自然界中的广泛分布，与其蕴含的这种联系密不可分。[17][18]
黄金螺旋线
如果一个矩形的长宽比为黄金分割数，该矩形被称为黄金矩形。如右图所示，首先在黄金矩形内部取最大的正方形，并将其去掉，则余下的矩形同样为黄金矩形，继续上述操作，并按照右图方式绘制正方形的内接四分之一圆，将这些圆以此连接可以得到一条螺旋线，被称为黄金螺旋线。在很多植物、动物的躯体构造中都能看到黄金螺旋线的身影。[18] 应用
生物
在自然界中，斐波那契数列广泛存在于许多事物中。例如，同一种植物的叶子在茎上呈现相同的周期性排列规律，对于榆树来说每两片叶子绕茎一圈为一个周期，可记为1/2；类似的，樱桃每五片叶子绕茎两圈为一个周期，可记为2/5；这些数字恰好为斐波那契数列的第n项与第n+2项之比，许多植物的茎叶排布与这个规律有关。在生物学中，有一条“鲁德维格定律”，描述的是树木生长过程中各个年份的枝条数，这与兔子问题类似，也构成斐波那契数列。此外，植物的花瓣、叶子、花蕊的数目大多数都为3、5、8、13这类斐波那契数列中的项，例如，梅花有5片花瓣，万寿菊的花瓣有 13 片等等。除此之外，菠萝表面的鳞片分布、仙人掌的结构、向日葵种子的排列方式等存在关联。不单是植物，一些动物的行为也与斐波那契数列有关，如蜜蜂进蜂房，雄峰家系每一代的数量等。[2] 数学
数学中的许多问题也与斐波那契数列有关，以下面的爬梯子问题为例，对于一个有十级台阶的楼梯，规定每一步只能跨一级或者两级台阶，求爬完这个楼梯的方法数量。分析可知，爬上一级台阶只有一种方法，二级台阶有两种方法，三级台阶有三种方法，四级台阶有五种方法，五级台阶有八种方法，六级台阶有十三种，以此类推，爬完一个n级台阶的方法数量恰好呈斐波那契数列排布（从第二项开始）。[2]
在代数中，使用迭代的方法求得方程的正近似解恰好依次为其分子、分母均构成一个斐波那契数列。在古典概率中，对于下列抛硬币问题：连续抛一枚硬币,直到连出两次正面为止，求发生在第n次抛掷时出现的可能序列数目。经过分析，序列的数目随着n的递增同样呈现斐波那契数列排布。[19] 物理学
1984年，美国科学家谢赫特曼(D.Shechtman)等人宣布在一种材料中发现了准晶体结构，这改变了经典晶体学中传统的物态理论，即自然界中不存在介于晶体和玻璃体的中间形式，从此开拓了一个崭新的研究领域。研究发现，准晶体产生的准周期性明锐衍射斑点分布与斐波那契数列也存在一定关联。[20]
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