再谈椭圆的共轭直径——基于位似意义下椭圆的相似性

画在共轭直径应用几则这篇文章中，我们简单的讨论了圆锥曲线的共轭直径问题，当时限于各种情景没有对椭圆的共轭直径做过多的讨论。在我命制的下面这份试卷中，对双曲线的共轭直径进行了应用，但是也没有说明这件事情的缘由。

实际上，按照我们求共轭直径的斜率关系时，问题已经暴露出来了：

抛开推理过程，注意思考结论的意义，它反映的是两条线段（准确的说是直线）的斜率间的关系，而且从这个结论我们可以看到，把直线AB进行平行移动移动的时候这个结论仍是对的，但是一旦移动的太大，可能会出现难以接受的现象。比如移动到红色位置是什么情况，上述等式的意义是什么？移动到黄色线又是什么情况，又该如何解释？

实际上，我们注意观察上述推理过程，最初的地方只要具有这样的形式都是对的：

这样问题就来了，方程

代表的是什么呢？教材上没有说，但是曾经出现过这样的词语，焦点在同一条坐标轴上且离心率相同这样的概念。实际上我们可以把这个描述下一个概念——相似椭圆。这样共轭直径其实是对一组相似椭圆的共轭直径的关系的刻画，我们在课堂上所关注的仅仅是一个椭圆而已。

昨天，我们学校一个学生拿来这样一个问题来问我：

我的第一反映就是可以利用相似椭圆的共轭直径关系来做，但是在书写的过程中出现了一点学生无法理解：

在我书写的时候，我借用了一点感性认识，但是当我试图给学生说清楚的时候，发现这真的不是一句话可以解释清楚的，必须深究这里边的原因。

这里我先呈现一种解答，然后再开始我对这个问题的挖掘。

从这个解答中，我们基本上看不出来这个命题的意义，感觉就是算现在就开始我对这个题目的认识。

为了行文方便，我把这里出现的椭圆先做一个命名——位似椭圆。

首先我陈述一下关于为的基本事实，位似是一种特殊的相似。以下我给一种相对简洁的定义：

以下就是按照位似做的两组图形。位似的两组图形互为像，按照位似的定义，我们可以知道位似关系其实是基于平面向量的数乘运算的。

关于位似，我们给出以下的几点性质：

特别的我们本文仅仅研究椭圆的位似关系，下面我们就来看椭圆的位似变换的基本性质：

椭圆的位似图形是椭圆，并且对应的焦点是位似的。

如图，以椭圆的上顶点B为位似中心，则椭圆的位似还是椭圆（这我们可以借助线段比进行命题，借以考察椭圆定义）。

注意到当以任一点为椭圆中心时，两个位似的椭圆总有一个是非标准型的，这从研究的角度来讲是有意义的，但是从命题的角度来说我们需要回避。但是我们发现，当取椭圆的中心为位似中心时，位似的一组椭圆具有非常好的性质，为方便我们称以椭圆的中心为位似中心的位似叫标准位似。如图就是标准位似下的一对椭圆，并且他们互为像。

关于标准位似我们陈述下面的一些性质：

联系到我们在前边写过的文章，我们这里得到一个非常优美的结论：

这个结论做出来很不容易（我指的是画图工作）。但是我们回忆共轭直径的性质，我可以把弦AB转化为它的共轭直径OP，因此我们可以这样画图：在椭圆上任取一点P，做出该点的切线，然后再弦OP上任取一点作为弦AB的中点，进而做出弦AB。则根据共轭直径的结论，我们可以知道点M的轨迹为椭圆，弦AB此时转化为M的轨迹椭圆的切线。利用M'与AB互为极点与极线的位置关系，我们可以得到M'在OP上，并且结合M的轨迹为椭圆进而得到M'的轨迹为椭圆。注意到我们证明过程中反复使用的共轭直径关系，我们可以得到这三个椭圆均是标准位似的，因此我们有OM:OP:OM'为定值，并且OM:OP=OP:OM'。

或者从另外的角度解释这个事实。注意到这里M在OP上的位置是很一般的位置的,甚至是时刻在变得，而这仅仅是有OA,OB的位置关系决定的。为了更加清晰地看到轨迹，我们把M在OP上的位置固定下来，让任意的弦AB暂时以一种规则的方式运动。这样利用位似定义知道M的轨迹是椭圆，而且AB时刻是切线，此时得到M'的轨迹为椭圆就简单了。

注意到这里边隐藏的共轭直径：OA与AM'，OB与OM'。我们可以证明OA与OB的斜率也是定值，当OA与OB互为共轭直径的时候，我们有特殊的结论：

这组性质就是上述命题的起点。

行文至此，我们发现这组位似椭圆其实是按照固定的比例进行变换得到的，当我们跨越着看的时候，会发现很有趣的现象。这里我们提供位似比为2的椭圆具有的一组性质。

这组命题中，（1）是最自然的，只需运用共轭直径就可以得到；利用（1）的思想，（2）的证明也是简单的，从而O重心的结论就出来了。这里边最值得证明的面积不变，这为我们画椭圆也提供了其他的方法。这个证明是很机械的，这里就不再证明。

作为结束，我们提供一个更为一般的命题：

这组性质中，（1）最简单，用的是最简单的结论，（2）在（1）的基础上也是容易证明，也是需要用共轭直径的结论，从而（3）的后半部分一定是对的，在承认前部分的前提下，这样问题就变成了证明（3）的前半部分成立。

这里我就不再进行证明。

进行到这里基本结束。连续两天的时间里，大把的精力都投在了这个题目上，在不断地画图研究过程中对这个问题的实质认识的越来越清楚，但是随着研究深入，对这个问题的认识也越来越浅，性质实在太丰富，短短的时间内根本无法解决所有的问题，权且留白待以后再认识吧。