很多数学工作者在研究问题和理解事物时都在使用的思考方法：类比

我们在思考某个未知事物的时候，把它与另一个已经比较了解的事物进行比较，找出两者所具有的某种非常类似的侧面，然后以此为基础在两者之间发现更多相似之处这样一种做法。这就相当于说，在构筑一个新理论的时候，我们设法把已经存在的理论里的实际发展方向几乎原封不动地移植到这个未知理论中，然后在尽量保持这种类似性的基础上找到新理论的发展方向。

望月教授在构建 IUT 理论的过程中，应该就是这样时刻想着这种“出于自然”的原则的。IUT 理论是一种非常具有独创性的崭新理论，把这个理论一点一点从无到有地构建起来，就像是一个人走在某一颗还没有人走过的行星上那样。不管走得多么小心谨慎，稍不注意，就有可能从悬崖上掉下来。

从这一点来说，IUT 理论的构建工作还是相当慎重的。实际上，如果用人类到目前为止一直使用的单独一个“数学统一体 = 视宇”来思考的话，就必须使用一种很容易陷入各种矛盾之中的说话方式。而通过考虑多个作为数学统一体的舞台，则能够获得一种在以前的数学中从没有过的全新类型的灵活性，这正是 IUT 理论的精髓之处。但也正因为这是还没有人想过的事情，所以就必须非常谨慎地进行思考，否则就很容易落入无底深渊。话虽如此，但也不能一味地盯着脚下看，因为我们还必须对于应该朝哪个方向前进才是“自然”的有某种感觉，这永远是非常重要的事情。

因此，从 2005 年到 2011 年，望月教授和我在那个悄无声息的讨论班上一直就把这一点作为非常重要的事情。甚至可以说，至少我是这么理解的，我们的那个讨论班所能起到的作用就是要找出这个“自然的前进方向”，并不断加深对这个方向的确信。因而，在那个讨论班上，比起只从逻辑上去一一确认各种技术性细节的工作，我们更加重视的是如何找到自然的思考方式，以及我们是否正在沿着正确的方向接近最终的目标。从这个意义上来说，望月教授一直是非常重视“出于自然”这种基本原则的，在这一点上他也给我留下了很深的印象。

那么，在这样一种探索的过程中，数学工作者是通过什么手段来获得这种“自然的前进方向”的呢？当然，在不同的人那里，这肯定是千差万别的。有时候，可能就像突然得到了某种启示一样。著名数学家庞加莱曾经说过，有一次，他在坐进马车的一瞬间，脑海中突然灵感迸发，对于某个思考了很久的问题闪现出一个重要的想法。不过，即使不是像庞加莱所描述的那种特别明显的直觉上的灵感，数学工作者每天也会不断地积累大大小小的灵感，并以这种方式来推进自己的工作。

除此之外，还有没有别的什么东西呢？在我看来，望月教授看起来也很重视“类比”（analogy）这样一种思考方法。也就是说，我们在思考某个未知事物的时候，把它与另一个已经比较了解的事物进行比较，找出两者所具有的某种非常类似的侧面，然后以此为基础在两者之间发现更多相似之处这样一种做法。这就相当于说，在构筑一个新理论的时候，我们设法把已经存在的理论里的实际发展方向几乎原封不动地移植到这个未知理论中，然后在尽量保持这种类似性的基础上找到新理论的发展方向。对于已知的理论，我们已经知道它是“正确的”，而且，它也应该是自然的。因此，如果能够把这种方法成功应用到新的未知理论中的话，差不多也就获得了自然的前进方向。

所谓类比，就是把未知的事情或者尚未实现的事情与那些已知的事情或者实际已经实现了的事情进行比较，以后者为参照物对前者进行理解或者通过模仿把前者实现出来。人类在尝试新事物的时候，或多或少都会依赖于类比。比如说，当人类想要在空中飞行时，最先尝试的应该就是模仿鸟的飞行方式，制造出带着翅膀的交通工具，这就是在“鸟的飞行”这一实际现象的基础上，通过运用类比的方法来解决问题的一个典型的例子。

当然，通常情况下，仅靠类比可能是没有办法完成所有事情的。从飞机的例子也能看出这一点，虽然飞机的某些部分模仿了鸟的飞行方式，但正是因为后来采用了与鸟类飞行完全不同的原理和材料，才得以成功地制造出一种真正能够飞行的交通工具。我们应该说，在最初的起点上，与鸟类飞行之间的这种类比，对于飞机这种航空器的发明来说还是具有非常重要的价值的。因为它在人类发明飞机的初期，为我们指明了“正确的方向”，这个作用是非常巨大的。从这个意义上来说，我们可以认为飞机的例子是类比方法的一个非常成功的案例。

这里我们需要注意的是，类比这种方法绝对不是一个逻辑的思考过程。因为这是要在逻辑上没有直接关联的两种事物之间通过类似性这样的桥梁来建立联系的方法。这两种事物本身或许完全就是不同类型的东西。但是，通过类比这样的联系来把它们并列起来进行考察，反而可以产生只用逻辑手段无法企及的一些更为灵活的想法。从这个意义上来说，类比这样的思考方法并不是只有望月教授在用，很多数学工作者在研究问题和理解事物时都在使用，这是思考问题时的一个常用的窍门和技艺。

实际上，我们完全可以说，在 IUT 理论中，仅从基本思想和理念这个层面来看，那简直就是类比的宝库。我们曾经说过，Teichmüller 理论本身虽然并没有成为 IUT 理论的直接基础，但是为后者奠定了非常重要的基石，这其中的关键原因就是类比。我们也许可以把 IUT 理论理解为“在跨视宇的状况下来展开Teichmüller 理论”，但在这里，Teichmüller 理论的介入方式就是它刚好起着路标的作用。也就是说，它是作为重要的类比对象来发挥作用的。当然，其中说不定也会蕴藏着一些更为深奥的关系，并不是简单地用类比就能形容的。但至少这里确实有些地方会让我们这么想。

说起这件事，我们就要再次提到望月教授的博客（之前已经多次提过了），他在那里把这种类比发挥得更加自由奔放和淋漓尽致。比如说，在 IUT 理论中有一个很重要的概念，称为“Θ 纽带”，望月教授把它与当时在日本热播的某个电视剧建立了联系，用该剧里出现的合同式婚姻（日文是“契約結婚”）与之相类比。此外，在其博客的另一篇文章里，他还描述了如何在 IUT 理论中出现的各种重要的要素与红白歌会中人气偶像组合的演出节目之间建立起类比式的对应关系。

当然，这些想法对于构建和理解 IUT 理论这一数学理论来说，可能根本没有多大的作用，只是一些“小游戏”而已。但是，我觉得这样一种思维的小游戏，同样是基于类比式的自由联想。这个思考上的技巧在实际的理论构建中确实也非常有效，而且很能体现望月教授的个性特征，说得稍微夸张一点，这些事情甚至在某种程度上也代表了他的数学风格。