这是一份在石溪为庆祝杨振宁教授退休而举行的“对称与反射”讨论会上所用的发言稿。在这次发言中，我将回顾自我在纽约州立大学石溪分校读研究生以来我同杨教授之间的交往，以及在理解理论物理学方面他对我所产生的深远影响。同时我还将回顾关于高温超导的SO(5)理论，以及这一理论是怎样在我和杨教授合作的过程中奠定基础的。
能够在庆祝杨振宁教授退休的“对称与反射”讨论会上发言，我感到非常荣幸。要在台下众多为这半个世纪物理学作出巨大贡献的先辈面前介绍我本人的工作，实在很不合适。因此，我更愿意借此机会回顾一下我和杨教授之间的个人交往，以及他对我科学生涯的巨大影响。自从我作为一个学生第一次接触物理学以来，他一直是我的偶像。今天，长岛这一可爱的春日，使我生动地回忆起我到石溪读研究生的第一天的情形。自那天以来，他不但在课堂上教给我物理学，也在私人谈话的场合向我传授物理学知识。他会给我提出丰富多彩的建议，给我讲一些鼓舞人心的事例。但最最重要的是，他教导我，物理学是美的，而且他的研究经历也告诉我们大家，对美、品味、风格的主观判断，往往可以导致理论物理学上的重大发现。
当我开始上学的时候，中国尚处在混乱的文化大革命时期。然而，尽管那时我们在学校学不到多少科学知识，每个学生却是都熟知杨振宁和李政道的名字，以及他们对科学所作出的巨大贡献。科学家居然能够“证明”大自然的“左手性”，我对此大为震撼，并立即决定将我所有课余时间都用来学习物理学。在中国过去的那些灰暗日子里，我在科学之美中找到了慰籍。这说起来要归功于杨教授在中国所产生的影响，对此我永远都感激不尽。
在进中国复旦大学学习仅一个学期之后，我获得了一份宝贵的本科生奖学金，可以去柏林自由大学学习。在获得本科学位之后，柏林自由大学唯一的华侨教授、同时也是杨教授老朋友的孟（Meng）教授，以及我的论文指导老师施拉德（Schrader）教授，都力劝我到石溪去接受研究生教育。当我收到来自石溪的录取通知时，我的梦想终于成真了！
尽管杨教授极忙，但他总是抽出时间和新来的研究生谈话。在他第一次和我见面的时候，他问我的兴趣是什么。我回答说理论物理的最高目标是追逐爱因斯坦的梦想，将引力和其他力统一起来，而我的兴趣也正在于此。使我大为惊讶的是，他不但不赞成我追求这样一种目标，甚至都不赞成我去从事通常的粒子物理研究。他颇有说服力地指出，物理学是一门范围十分宽广的学科，随处可以找到有趣的问题。
我在困惑与矛盾中离开了杨教授的办公室。幸运的是，他给研究生新生开设了一门叫做“理论物理问题选”的课程。在这门课程里，他根本不涉及我所认为的物理学“前沿问题”，而是讨论诸如Bohm-Aharonov效应、伊辛模型的对偶性（duality of the Ising model）、超导体磁通量的量子化、位相和全息术、非对角长程序、规范场概念以及磁单极子等之类的问题。在这门课程中，我最大的收获是课题的选择。这些课题反映出他在物理学方面的个人兴趣，而这是不易从书本上学到的。通过这些问题，我明白了自然的复杂性可以统一于理论的美与简洁之中。而理论物理学的意义正在于此。
我开始跟着范·纽温惠曾（van Nieuwenhuizen）教授研究超引力，并很快完成了几篇论文。但是，一方面由于杨教授的建议，另一方面也因为克文森教授（S. Kivelson）颇有感染力的热情，我越来越着迷于凝聚态物理。之后我成为加州大学圣芭芭拉分校（UCSB）理论物理研究所的一名博士后。施里弗教授[①]非常友好地欢迎我这样一个十足的新手加入到他的研究小组，并慷慨地教给我有关凝聚态物理的知识。我非常乐意跟他及文小刚（Xiaogang Wen）一起研究高临界温度Tc的自旋袋理论（spin bag theory），并最终决定完全转向凝聚态物理。
从UCSB出站后，我加入到IBM Almaden 研究中心。那时，杨教授关于“η配对（η pairing）的论文[②]刚发表于《物理评论快报》上，我怀着极大的兴趣阅读了它。我被其中的数学简洁性吸引了，而且文章中关于可以建构一个相互作用哈密顿量的某些精确本征态的事实，给我留下了深刻的印象。我还注意到，因为η算子是Hubbard 模型一个精确的本征算子，所以η?η和哈密顿量之间应是可对易的，这意味着存在一个新的守恒律。但我不知道它在物理上有什么意义。于是我邀请杨教授到IBM来做一个报告，其间我和他讨论了我的看法。他对我的看法表现出极大的兴趣，但因为他要赶飞机，我们只得匆匆结束了谈话。
第二天，我收到了杨教授发来的一份15页的传真。他在回纽约的飞机上想出了关于Hubbard 模型SO(4) 对称的完备的数学理论。他发现，η算子和它的厄米共轭，以及总数算子（total number operator）构成一个“赝自旋”SU（2）代数生成器，
[η0，η?]= η? [η0，η]= –η [η?，η]=2η0 （1）
其中η0=（Ne–N）? 2是根据半填满来衡量的电子总数。我的关于η?η和哈密顿量对易的看法，可以表述为，上述“赝自旋”SU（2）代数的Casimir 算子是一个守恒量。普通的SU（2）自旋代数和这个“赝自旋”SU（2）代数一起，构成Hubbard 模型的完备的SO（4）=SU（2）×SU（2）对称。当他提出和我联名发表关于“Hubbard 模型中的SO（4）对称”的论文时，我感到莫大的荣幸。[③]
这个“赝自旋”SU（2）代数的物理意义是什么呢？在我们发表SO（4）论文之后，我花了很多时间来思考这个问题。经过我们一番思考和讨论之后，杨教授写成了一篇奠基性（seminal paper）论文，题为“非对角长程序概念和液氦及超导体的量子相”[④]。在这篇论文中，他将量子多体系统中各种形式的序归类为对角长程序（DLRO），比如自旋密度波和电荷密度波序就属于这一类，和非对角长程序（ODLRO），比如超流和超导序等。DLRO 的特点是，序参量不带电荷，而费米子系统中的ODLRO的特点是，序参量带两个单位的电荷。凝聚态系统中几乎所有协作现象，都可归于这两类范畴中的一类。这两种不同形式的序在物理上的表现相差悬殊，其数学特征也根本不同。它们通常被认为是有着天壤之别。因此，当我意识到赝自旋对称可以将这两种不同形式的序严格地统一起来时，我感到非常惊讶。因为η算子带电荷2（carry charge two），它可以将电荷量子数相差2的DLRO和 ODLRO联系起来。更确切地说，在η算子、电荷密度波序参量Δc和超导序参量Δs之间存在这样一种关系，
[η?，Δc] = i. Δs （2）
所以，赝自旋SU（2）代数表示在这两种截然不同的序之间进行“旋转”。而且，这一方程使我们能够直接作出一个物理预言。因为普通的U（1）电荷对称扩展为一个赝SU（2）对称，因此通常的相戈德斯通模（phase Glodstone mode）有一个对称镜像，我把它称之为“η”集体模。在动量空间中它存在于（p，p）附近，其能量有个无限陡的尖峰。它只出现于超导转变温度Tc之下。[⑤]
在我为这些想法激动不已的时候，凝聚态物理学界其他人士却很平静。大家认为这种想法是纯数学的产物，没有实际意义。因此我感到很气馁，没再沿着这个方向思考了。但是，在没人的时候，我会静静地翻开杨教授的《文选》。我很钦佩他的物理学风格，很欣赏对称之美和数学推理的威力。从他研究的事例中，我深信，那些高雅的数学概念最终都能从物理系统中找到用武之地。
1995年，D. Scalapino 教授到斯坦福大学访问，并报告高温超导方面的新的实验发现。实验物理学家用中子散射的方法，发现了一个受到分辨率限制的尖锐共振峰，它位于动量（p，p）附近，能量为40 meV。而且，它只出现在超导转变温度之下[⑥]。这一发现令我非常激动，因为共振峰的关键特征和我原来在赝自旋对称理论的基础上所作出的预言几乎完全一致。很快，我的学生尤金·德姆勒（E. Demler）和我导出了赝戈德斯通模理论的一个推广，它可以自然合理地解释高温超导体中的中子共振峰[⑦]。该理论和我原来关于η模的理论的主要不同之点在于集体模的自旋量子数。η模都是自旋单态，而这个新的模是自旋三重态。为了和杨教授所用的符号保持一致，我们后来将这一新的集体模叫做p模。（在粒子物理中，p介子构成同位旋三重态，而η介子则为同位旋单态。）
在完成和尤金合作的这项研究之后，我开始思考如下的问题：如果η模是SO（4）对称的结果，那么和p模相联系的又是什么对称呢？对这一问题的思考最终导致了高温超导SO（5）理论的形成。我开始将p算子进行彼此交换，但它们的交换子看起来相当复杂。因为群论知识我已经忘得差不多了，所以我看不出它们是否构成一个简单的李代数。几天以后，当我审视着高临界温度的相图，以及放在旁边的反铁磁（AF）和超导（SC）相时，我突然意识到，新的对称应该将DLRO和ODLRO统一起来，因为AF序参量有3个实分量，而SC序参量有2个实分量，所以自然的对称群应该是SO（5）！认识到这点之后，将交换子组织成一个SO（5）李代数的问题就不难了，而且它（这样建立起来的SO（5））还真的管用。
在这一简单概念的基础上，我开始将SO（5）作为一种统一AF和SC序的有效的对称，来建构高温超导理论[⑧]。这一理论不仅将两个形式看似不同的序统一起来，并能解释它们在高临界温度系统中极为相近的表现，而且还作出了一系列惊人的实验预言。现在，该理论正在接受数值模拟和实验的检验，它有希望最终揭开高温超导之谜。杨教授曾经将20世纪发展的物理学基本定律总结为一个简洁的口号“对称决定相互作用”。如果SO（5）理论被证明在凝聚态物理中是成功的，那么它将成为“对称决定相图”的一个例子。毋庸置疑，依靠这样一个较高级的组织原理，绝对能够引导我们去探索和组织各种各样的物质以及它们的相。
我希望借此机会对杨教授深表感谢，谢谢他对我所从事的事业的重要影响，并祝他退休愉快。他的精神和建议将永远伴随着我探索物理学之美和真理。
本文 High Tc Superconductivity: Symmetries and Reflections，译自Symmetry & Modernn Physics: C. N. Yang Retirement Symposium，18－23
作者简介：张首晟，斯坦福大学物理系教授。
[①] John Robert Schrieffer（1931—），1972年获得诺贝尔物理学奖。
[②] C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 63, 2144 (1989).
[③] C. N. Yang and S. C. Zhang, Mod. Phys. Lett. B4, 759 (1990).
[④] C. N. Yang, Rev. Mod. Phys. 34, 339 (1962).
[⑤] S. C. Zhang, Phys. Rev. Lett. 65, 120 (1990); S. C. Zhang, Int. J. Mod. Phys. B5, 153 (1991).
[⑥] J. Rossat-Mignod, L. Regnault, C. Vettier, P. Bourges, P. Burlet, J. Bossy, J. Henry and G. Lapertot, Physica C185-189, 86 (1991); H. Mook, M. Yethiraj, G. Aeppli and T. Mason, Phys. Rev. Lett. 70, 3490 (1993); H. F. Fong, B. Keimer, P. W. Anderson, D. Reznik, F. Dogan and I. A. Aksay, ibid. 75, 316 (1995); P. Dai, M. Yethiraj, F. A. Mook, T. B. Lindemer and F. Dogan, ibid. 77, 5425 (1996); H. F. Fong, B. Keimer, D. L. Milius and I. A. Aksay, ibid. 78, 713 (1997).
[⑦] E. Demler and S.- C. Zhang, Phys. Rev. Lett. 76, 4126 (1995).
[⑧] S. C. Zhang, Science 275, 1089 (1997).
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