（系列文章之五）
凝聚态拓扑中的量子纠缠
最近中科院物理所理论室的几位同事，胡江平、戴希、孟子杨等对2016年诺贝尔物理学奖以自由的文风进行了深度解析，使人受益匪浅，但是对于量子纠缠在今年诺奖中的角色没有涉及，个人感觉这个方向的研究具有很好的发展前景，诺奖科学背景材料中也对凝聚态拓扑中的量子纠缠和拓扑量子计算多有涉及，笔者的这篇解读可以作为几位同事深度解读的补充。本文分为上下独立的两部分，希望以走马观花的形式展示一些走马观花式的内容。
上章：量子纠缠
量子纠缠是大家既熟悉又陌生的概念, 更是一个时髦的概念. 为了能使得公众理解其性质, 网上有各种各样的形象比喻, 但是这些形象的描述一方面使得大家有了一个直观的简单图像, 另一方面又引来了更多的疑惑和质疑! 笔者希望能从三步逐渐深入的描述来对量子纠缠的主要性质进行解读。
第一步：经典关联
大家普遍注意到的量子纠缠的性质是其对不同参与者的结果关联性, 比如对打牌群众可以这样解释, 你手里的牌有大猫, 你立即就知道别人没有大猫. 为了方便, 我们从这里就引入较为严格的符号来标记, 你的结果是“↑”, 那么你知道别人的结果是'↓”, 打牌群众就比较直观意识到你的结果和别人的结果是完全关联的, 或者是纠缠的, 当然情况也可以完全相反, 你没拿到大猫, 则大猫肯定在你的对手手里, 这两种情况总体可以对应量子纠缠态(|↑↓>-|↓↑>)/sqrt(2) , 第一项“↑↓”则分别代表了你手里的大猫和对手手里的非大猫, 第二项代表完全相反的情况, 中间是加号或者减号暂时对结果没有影响。
当然这种关联也可以同样表示为结果完全相同, 比如: 如果在重庆的父母同时给分别在北京上海学习的一对子女A和B邮寄完全一样的包裹, 在北京的A如果收到苹果或者梨子, 他立即知道, 在上海工作的B也将会收到同样的东西, 即同时为“↑”或者为'↓”, 我们可以用对应的量子纠缠态(|↑↑>-|↓↓>)/sqrt(2) 来标记。
如果只是理解到这里, 则是对量子纠缠的一个片面解读, 如果不是完全误解的话, 因为前面这些结果也可以完全是经典的, 与量子没有关系! 尽管里边可能是是而非的包含了'立即知道”这种瞬间观念. 例如: 我们可以把第二个例子用只涉及经典事件的公式较为简单的表示出来, 可以写为(↑↑+↓↓)/2,这是一个具有经典关联的事件,不具有量子纠缠相干叠加这样的性质。
第二步：相干叠加
量子纠缠态可以写为不同的形式(|↑↑>-|↓↓>)/sqrt(2)=(|↗↗>+|↙↙>)/sqrt(2), 这里我们引入了另外一组符号, 也就是态|↗>=(|↑>+|↓>)/sqrt(2),|↙> =(|↑>-|↓>)/sqrt(2),应该注意的是写纠缠态的这两种形式时, 我们没有进行任何”操作”, 而符号|↗>=(|↑>+|↓>)/sqrt(2)尽管是一个定义, 如果要实现, 则隐含着有操作. 这里就需要引入量子力学的相干叠加的概念, 如果我们用“↑”代表苹果, “↓”代表梨子, 我们可以发现“↗”和“↙”没有经典世界的对应, 量子态的制备和调控是非常困难的, 2012年诺贝尔物理学奖Haroche和Wineland是由于量子态的调控实验技术而得奖, 所以不能随意的把量子态的概念扩展到经典世界, 如果宣称有某些宏观量子态,需要坚实的实验证据。
如果这个时候我们直接应用(|↗↗>+|↙↙>)/sqrt(2)来解释纠缠的概念, 基本就是第一步的重复, 即如果A的结果是“↗”, 则B的结果一定也是“↗”. 但是仔细分析这个结果就发现有其它的内容. 首先, 结果“↗”的得到并没有被认可, 怎样才能得到这样的结果呢?这里需要引入测量的概念. 而”测量”常常就是我们在阅读关于量子文章的时候所说的”观测”, 但是”观测”很容易引起大家的误解, 因为我们说观测, 比如看了一眼, 并不引起被观测者的状态变化, (嗯? 社会学内容这里不考虑了), 但是量子态本身是很脆弱的, “观测”实际是测量, 会引起量子态的改变! 比如态|↗>=(|↑>+|↓>)/sqrt(2), 如果我们用“↑”和“↓”的形式进行测量, 则只会得到“↑”或者“↓”中的一个结果, 量子态本身已经改变, 变为|↑>或者|↓>。
警惕的读者已经注意到这里可能有个坑, 既然“↗”和“↙”没有经典世界的对应, 他们又代表什么呢? 简单的说可以想象A用探测器来测量量子态, 比如量子态的载体是光子, 但是探测此光子量子态时只用两个光子探测器, 而且这两个探测器的位置是互相面对的(一般显示在正交位置), 比如“↑”和“↓”可以代表上下两个探测器, 而“↗”和“↙”可以代表左右两个探测器. 带有量子态的光子到来时, 我们可以调整镜片, 使得上下两个探测器可以测到, 或者使得左右两个探测器可以测到. 但是再强调一下, 只有一种情况可以发生, 要不然是上下两个探测器之一(反射或透射)可以测到光子, 要不然旋转角度使得左右两个探测器之一可以测到光子。
现在我们基本已经有共识性的基础: 量子态的测量有两个信息, 一个是基的选取,即{|↑>，|↓>},测到的结果是测到“↑”和“↓”, 如果我们不说基的信息, 则测到的结果可以简单的表示为0或者1; 如果选取的基是{|↗>，|↙>},我们同样可以说测量结果为0或者1。
第三步：超越经典
我们先记住一个事实, 从(|↗↗>+|↙↙>)/sqrt(2)形式出发, 我们可以发现第一项可以写为|↗↗>=|↗>(|↑>+|↓>)/sqrt(2)。
有了这些基本的公式之后, 为了说明情况, 我们邀请到吃瓜群众来监测结果. 我们采取的方案如下: 设想A, B分别在北京和上海, 1. A选取{|↑>，|↓>}进行测量, B同样用{|↑>，|↓>}进行测量, A, B在测量后把结果告诉吃瓜群众, 吃瓜群众发现他们的测量结果是完全相同的, 要不然同时为0, 要不然同时为1, 这是第一步我们已经了解到的知识, 但是强调一下, 用经典的办法完全可以实现同样的结果, 所以这种结果的关联是经典的, 也可以简单的解读为量子关联需要经典关联来表现; 2. A改变其光路, 采用测量基{|↗>，|↙>},而B没有变化, 还是用{|↑>，|↓>}进行测量. 我们来分析一下结果: 把刚才记住的一个事实拿来, |↗↗>=|↗>(|↑>+|↓>)/sqrt(2), 这一项对应的事实为A测量到结果“↗”,他给吃瓜群众报告测到0,B的态为(|↑>+|↓>)/sqrt(2),他测到的“↑”和“↓”的结果各半, 他给吃瓜群众报告结果为0或者1. 两人结果一致的几率只有50%. 对第二项|↙↙>=|↙>(|↑>-|↓>)/sqrt(2)的分析会有类似的结果, A报告他测到1, B同样是0,1各半, 只有50%的几率是相同的; 3. 吃瓜群众如果不希望A和B有机会不进行测量, 只是私下商讨而报告一个虚假的测量结果, 采取了这样的措施以避免被蒙蔽: 要求A, B必须同时测量并上报结果和测量的时间, 比如A在中午12点整改变测量的基: 则在12点钟前, AB的结果总是一致的, 测量时间也基本相同, 12点钟A的精确测量时间为12点整, B的测量时间稍后慢了一个纳秒的时间: 吃瓜群众发现一个事实: 12点钟前, AB的结果总是相同, 他们没有机会来商讨测量结果; 12点钟时, 假设A测到0, B有50%的几率测到1.我们来分析一下, A在12点钟改变测量基, 如果这个改变是可以对外界有影响, 则其影响不应该超过光速, 考虑到北京上海的距离大约有1200公里, B状态的改变需要等到至少大约4毫秒的时间才有可能, 但是事实是B的测量结果在比这个时间少很多的时候就改变了. 当然为了更严格的证明B结果为|↗>,可以进行不同角度的旋转操作,可以发现其相干性,即从0,1各半逐渐变到总是0,1中的一个。
细致差别分析及隐变量和贝尔不等式的引入: 在第一步中量子态展现的经典关联也是瞬间的, 即AB的测量结果完全相同也是同时发生, 但是这个结果可以用经典的事件来解释, 比如北京队和上海队在一个地点比赛, 输赢的结果发生的一瞬间, 对北京和上海球迷的影响就已经确定, 北京和上海的球迷不能做任何事情改变这个结果. 这实际就是发端于爱因斯坦等人[1]的”隐变量”解释, 隐变量理论认为, 这种现象可以通过引入一个还未发现的变量参数来解释而不必求助于非定域性, 后来贝尔把所有类似解释通过引入不等式来描述, 不等式的违反意味着隐变量理论的不适用, 而贝尔不等式的违反需要引入不同测量基才能实现, 经典关联并不违反贝尔不等式. 在上面量子纠缠的例子中, A采取维持和变换基这两种操作, 对双方取得完全相同结果还是完全随机结果是有影响的, 这两种结果可以由A通过基的选取来控制. B测量结果的影响不能用经典的事件来解释, 因为基的改变已经涉及到量子相干叠加的性质, 更严格的情况需要B也采取两组基进行测量。
最后：不可能有超过光速的信息传递！
这里可以问两个问题, 第一个问题: AB测量基相同时, 由于其测量结果完全一致, 可以用来传递信息吗? 第二个问题:A改变测量基B会发现吗? 第一个问题, 虽然AB的测量结果一致, 但是由于其得到0,1的结果并不受控制, 所以并不能传递信息. 但是这个结果确实是非常有用的, 可以实现量子保密通讯, 使得AB可以共享秘钥. 一个潜在的问题是, 前面我们已经指出, 这个结果可以有经典对应, 导致安全性漏洞, 所以真正的量子保密通讯协议, 是让AB随机选取{|↑>，|↓>},{|↗>，|↙>}这两组基的一种, 当他们选取的基一样时, 则测量结果完全相同. 但是长距离纠缠态的共享并不是一个简单的事情, 比如光子在100公里量级的纠缠实验[2], 荷兰科学家2015年在金刚石氮空位中心系统实现了1.3公里的纠缠态共享[3], 墨子星的任务之一就是完成长距离纠缠态共享..
第二个问题, 因为A改变测量基, AB之间的测量结果从完全相同到完全没有关联是很短时间内发生的, 如果B能发现A基的改变, 则可以实现瞬间信息传递. 这件事情并没有发生, 因为从B的角度看来, 他的测量结果从来都是0,1各占50%, 所以超光速的信息传递是不可能的. 量子力学和量子信息不会有违背因果律的理论出现。
下章：凝聚态拓扑中的量子纠缠
人们可以利用量子纠缠制备加上测量来实现几乎所有的量子信息处理, 事实上没有量子纠缠, 量子计算相比于经典计算几乎没有优势, 所以可以认为量子纠缠是像石油一样的资源. 但是凝聚态中的量子纠缠研究, 目的并没有明显的希望将其作为资源, 而是从另一个角度来理解的. 既然量子纠缠是量子态中一个基本的行为, 其性质不可以有完全的经典对应, 则对于凝聚态多体体系, 其奇异性或者拓扑性质将和系统的量子纠缠性质可以联系起来, 这是凝聚态中量子纠缠研究的一个基本考虑. 那么量子纠缠在凝聚态中又是怎样来体现的呢?
首先我们需要扩展量子纠缠态的形式, 两体量子态可以写为: a|↑↑>=b|↑↓>+c|↓↑>+d|↓↓>,如果ad-bc不等于零, 则为量子纠缠态. 那么凝聚态是多体系统, 其态的形式将非常复杂, 比如零温时也许可以写为 x|↑↑…↑↑>+…+y|↓↓…↓↓>,但是这个多体态到底各个单体之间是怎样纠缠起来的, 并没有一个很好的理论来刻画和分类, 最终大家还是将此多体系统当做两体系统来处理, 只不过每个系统包含多个自旋, 简单的可以写为但是比较奇怪的是量子纠缠反映的是两体之间的某种关联, 所以对两个子系统是对称的, 这样的话, 直观的结论是纠缠性质只和两体切分的边界相关. 哎, 越来越复杂了, 省略的内容也更多了, 感谢读到这里的朋友对笔者的信任. 还是需要再引入一个内容就是量子纠缠的大小, 简单的说纠缠大小可以利用一种叫熵的量来度量, 可以称之为纠缠熵, 熵的定义为S({xj}) , 形式就是冯诺依曼熵, 没错, 就是计算机的奠基人, 没错, 这个熵可以等于热力学熵, 确实, 这个内容也省掉了。
诺奖科学背景介绍中指出, 获奖者Haldane的重要贡献之一是其对一维自旋链有无能隙的猜想: 整数自旋有能隙, 而N/2自旋无能隙, N为奇数. 2003年Kitaev等人发现并猜测[4], 自旋链基态量子纠缠性质对有能隙系统和无能隙系统是完全不同的, 对有能隙系统, 纠缠熵是一个常数, 而有能隙系统, 纠缠熵依赖于其子系统的大小. 背景介绍中也着重介绍了AKLT模型, 为自旋1链, 其基态为VBS态, 孟子杨和刘正鑫的诺奖解析中有详细论述, 笔者只是指出, VBS态的量子纠缠大小是常数, 和链的长度无关[5], 如图1所示。
图1 (a) 我们希望求得VBS态1到L格点的纠缠熵; (b)可以发现熵只与被截取的线段数相关, 所以可以把格点数减少; (c) VBS态1到L格点的体冯洛伊曼熵等于两个边界格点0和L+1的熵。
这个结论可以简单的推广到二维模型, 就是所谓的面积定理, 即二维模型基态纠缠熵的大小和切分的边界长度成正比, 在高维相当于表面积, 在二维就是周长, 这个结论和我们前面提到的纠缠性质只和两体共有边界相关是相符的。
Kitaev是首批基础物理大奖的获得者, 前几天和文小刚一起获得Buckley奖. 他们在背靠背的PRL文章中指出[6,7], 基态的量子纠缠熵的大小, 可以写为: 表面积+常数, 这个常数就是所谓的拓扑纠缠熵, 绕了一个大圈子, 终于把量子纠缠和拓扑联系起来了. 背靠背PRL文章相当于红毯走秀的撞衫, 不过观(读)众(者)比较喜欢, 因为两组结果互相印证, 确保结论正确. 虽然拓扑需要用拓扑数, 比如陈(省身)数来描述, 拓扑纠缠熵提供了另外一种简单暴力的方法, 只要有足够的计算能力, 就可以得到拓扑纠缠熵, 不同拓扑纠缠熵意味着不同的拓扑相, 拓扑纠缠熵的变化意味着拓扑相变的发生. 可惜的是这种简单暴力的方法甚少奏效, 因为多体系统自由度大多呈指数增长, 直接计算很快就会用尽所有的计算资源, 拓扑纠缠熵只在有限的几个具有精确解的系统可以得到, 最近对于Kitaev的toric code模型, 其拓扑纠缠熵也可以被得到[8]. 拓扑纠缠熵定义可见图2.
图2 尽管定义在Kitaev和文小刚等人的两篇PRL文章中完全一致, 但是算法采取了不同的形式. (a)中的算法为[6]: SA+ SB+SC- SAB- SAB -SAB +SABC 表面积项完全消掉, 四个正号, 三个负号, 则多余出一个常数项为拓扑纠缠熵. (b)中的算法为[7]: S2+ S3-S1- S4, 表面积项消掉, 由于(4)是两部分组成, 多出一个常数项, 则得到拓扑纠缠熵. (c)参数λ=1为拓扑相变点, 拓扑纠缠熵从2变到0, [8].
诺奖科学背景材料里也提到, 凝聚态拓扑相和相变可以由所谓的纠缠谱刻画, 那什么是纠缠谱呢? 我们回顾凝聚态系统的两体纠缠描述是人们经常试图去设计各种函数来描述纠缠的性质, 实际不用引入函数, 数字本身{xj}就能反映纠缠态的性质, 这些数字的罗列就是纠缠谱, 这是2006年Haldane和学生提出的[9], 看来越简单越本质. 这方面的发展才刚刚开始, 有很多工作需要深入探索, Haldane本人也十分关注这方面的研究, 笔者的一位博士生毕业后就去了Haldane的小组做博士后工作, 主要就是关注各种拓扑相的性质及量子纠缠谱。
今年物理学诺奖的另外内容是关于KT相变的结果, 这些内容也在量子纠缠的各种性质中有所体现. 应该指出的是, 除了量子纠缠, 其它能反映系统量子性质的量, 比如相干度量, 量子关联比如失协等都是可以被用来研究其物理性质, 这方面的发展正方兴未艾。
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当然我们说凝聚态拓扑中的量子纠缠只是为了研究基本的拓扑物态也不全面, 因为拓扑物态研究的一个目的是拓扑量子计算, 也正像在背景材料中所显示的, 首先应该说明拓扑量子计算也是量子计算, 只需要能实现普适的操作门即可实现普适量子计算, 当然拓扑量子计算的优势可以说是其容错性(fault tolerant)或者其鲁棒性(robust). 我们现在所用的计算机错误率非常低, 但是量子信息和量子计算操作中的错误非常高, 那么特殊设计的被动容错和主动纠错是非常必要的, 主动纠错需要用纠错码, 甚至嵌套多层的纠错码, 那么会需要很多的物理量子比特资源, 而被动容错设计可以采用拓扑的性质来做, 也是非常具有前景的。
物理学诺奖已经宣布十多天了, 大家的解读逐渐深入, 虽然热度在公众中有点降低, 但是对相关领域的影响和推动是长期的, 也许会孕育一些新的突破, 而量子信息和凝聚态的结合无疑是非常具有发展前景的。
系列文章
（之一）Kosterlitz-Thouless相变：拓扑元激发导致的特殊相变
参考文献
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Y. Jun, et al., Quantumteleportation and entanglement distribution over 100-kilometre free-spacechannels, Nature 488, 185 (2012).
B. Hensen, et al.,Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3kilometers, Nature 526, 682 (2015).
G. Vidal, G. Vidal, J. I.Latorre, E. Rico, and A. Kitaev, Entanglement in quantum critical phenomenon, Phys.Rev. Lett. 90, 227902 (2003).
H. Fan, V. Korepin, V.Roychowdhury, Entanglement in a valence-bond-solid state, Phys. Rev. Lett. 93,227203 (2004).
A. Kitaev and J. Preskill,Topological entanglement entropy, Phys. Rev. Lett. 96, 110404 (2006).
M. Levin and X. G. Wen,Detecting topological order in a ground state wave function, Phys. Rev. Lett.96, 110405 (2006).
Y. Zeng, A. Hamma, H. Fan, Thermalizationof topological entropy after a quantum quench, Phys. Rev. B 94, 125104 (2016).
H. Li and F. D. Haldane,Entanglement spectrum as a generalization of entanglement entropy:identification of topological order in non-Abelian fractional quantum Halleffect states, Phys. Rev. Lett. 101, 4962 (2008).
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