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数个世纪以来，数学家在纯粹的基础数学领域已经走得非常深远，以至于将现实的世界远远地抛离在身后。
为了总结事物的本质，许多艰深的概念和工具被发明出来。比如为了解决一元五次方程是否有解，法国的天才数学家伽罗瓦（Galois）创造了群论。群论不仅为数学的领土拓展了一片极为广阔的领域，且不负众望地成为了20世纪后现代物理的基石，甚至在量子化学、计算机科学、量子理论等都有十分重要而广泛的应用。
图1 伽罗瓦（1811-1832，图片来源：维基百科）
一个表述都难以统一的猜想
现代数学自群论的诞生以来，越来越倾向于提炼出对事物本质抽象的认识。一百多年以来，数学家们在抽象的基础上继续建立更深的抽象，每一层次的抽象都更加远离我们日常的经验世界。以群论为例，我们通用的“加、减、乘、除”则被抽象为四种运算法则。霍奇猜想，则是现代数学极端抽象体系下诞生的难题。作为高度专业的问题，它处理的对象与人们的直觉相去甚远，以至于不但对猜想本身的对错难以下判断，甚至连问题本身的表述都在寻求建立真正的共识。这个由英国数学家霍奇在1950年代提出的猜想，其一般的表述如下：
“一个非奇异射影代数簇的每一个（一定类型的）调和微分形式都是代数闭链的上同调类的一个有理组合。”
图2 霍奇（1903-1975）和霍奇猜想（图片来源：ma.utexas.edu）
了解霍奇猜想的故事则需要从17世纪去寻找源头。彼时，法国科学家笛卡尔（Descartes）发明了解析几何。从古希腊时期就开始被人们研究的几何问题几乎在一夜之间改头换面。人们发现，用笛卡尔的方法，通过解方程的代数方法就能完成几何问题的逻辑论证。比如每一条平面上的曲线都可以用唯一的一个代数方程来描述。寻找某些图形的几何性质就被转化为寻找相应方程解的信息。
图3 笛卡尔（1596-1660，图片来源：维基百科）
19世纪，数学家尝试推广笛卡尔的方法。他们从一些代数方程入手，把这些方程的解定义为“几何”对象。以这种方式从代数方程产生的对象，就被称为“代数簇”。霍奇猜想中，“非奇异射影代数簇”指代的是由一个代数方程的解所生成的光滑的多维物体的“表面”。
图4 陶里亚蒂表面，即光滑的多维表面（图片来源：维基百科）
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