0.999…=1吗？

秦延宗刻

　　0.999…=1吗？很多人在小学和中学时都遇到过这个问题，并且现在国内外网站上关于这个问题的讨论仍然很多，认为0.999…=1和0.999…<1的两派都有自己的理由。

　　认为0.999…=1的人常给出下面三种证明方法：

　　证法1：0.111…=1/9，0.222…=2/9，…，0.999…=9/9=1；或者0.333…=1/3，两边同时乘以3，得到0.999…=1。

　　证法2：设0.999…=x，则10x=9.999…；两边同时减去x，得10x-x=9.999…-0.999…；化简，得9x=9，解得x=1；所以，0.999…=x=1。

　　证法3：若0.999…不等于1，假设0.999…<1，则0.999…<（0.999… 1）/2<1。记t=（0.999… 1）/2，则0.999…<><>

　　但认为0.999…<1的人对上述三种证明方法表示怀疑，因为这三种证明方法都是基于数学事实“无限循环小数是分数的另一种表示”，将无限循环小数0.999…看作是分数9/9（=1）的另一种表示，就像0.111…是1/9的另一种表示一样。对整数1，我们在计算1/1时，首商0，然后添加小数点，后面就只能继续商9，最后得到1=1/1=0.999…。这只是一种除法运算，并没有真正证明“0.999…=1”。<>

　　也有人用无限等比数列求和的方法证实或证伪0.999…=1：

　　0.9=9/10，0.99=9/10 1/100，0.999=9/10 9/100 9/1000，…，0.999…=9/10 9/100 9/1000 … 9/10^n=［9/10×（1-1/10^n）］/（1-1/10）=1-1/10^n

　　到这里，有人利用无限等比数列求和的方法证实0.999…=1，有人证伪0.999…=1。证实0.999…=1的人认为当n趋于无穷大时，1/10^n（10的n次方）趋于0，1-1/10^n趋于1，所以0.999…=1；而证伪0.999…=1的人认为，当n趋于无穷大时，1/10^n趋于0，但永远不等于0，1-1/10^n趋于1，但永远小于1，所以0.999…<1。

　　上述两种说法都看似有道理，但0.999…要么等于1，要么不等于1，不可能同时出现两种结果。这里出现分歧的原因是对无穷小的认识不同，这也是第二次数学危机中争论的焦点：无穷小究竟是否等于0？无穷小量是一个变量，而在用无穷等比数列求和的证明方法中，左边0.999…是一个常量，右边无限数列求和得到的表达式是一个变量，所以上述证明过程是无效的。

　　那么如何证明“0.999…=1”呢？这就需要用到戴德金切割定理，也称实数完备性定理：

　　对两个实数集A、B，A中的任意元素a小于B中的任意元素b，则A和B构成实数集R的一个切割，则或者实数集A有最大数，或者实数集B有最小数。

　　戴德金切割定理同样适用于有理数。根据戴德金切割定理，可证明有理数集Q的一种分割确定唯一一个有理数，且相同的分割确定的有理数相同。可以证明0.999…和1确定的有理数集的分割相同，从而0.999…=1。证明过程在此不再赘述，感兴趣的读者可参考相关文献试着证明。

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